Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
Для малых колебаний системы около устойчивого положения равновесия выражения для кинетической энергии, потенциальной энергии и диссипативной функции имеют вид;
где -положительные постоянные. Будем предполагать, что обобщённая сила является заданной функцией времени. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний будет линейным, неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами
.
При введённых ранее обозначениях оно примет вид
(5.18)
Общий интеграл дифференциального уравнения (5.18), как известно, является суммой общего интеграла соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний, и какого-либо частного решения уравнения (5.18): , причем, в зависимости от значений коэффициентов n и k получим соответствующие решения. В случае произвольной функции решение ищется методом вариации произвольных постоянных. Здесь же ограничимся случаем, когда гармоническая функция . Уравнение (3.68) примет вид
,
где . Будем искать частное решение в форме
.
Тогда
Подстановка в дифференциальное уравнение даёт
Откуда получаем два уравнении для неизвестных А и В:
Решив эти уравнения, имеем:
Полагая
Получим , где
. (5.16)
Общее решение можно теперь записать в таком виде
.
- решение однородного уравнения в форме (5.11),(5.12) или (5.13), и, как было выше показано, оно при затухает, остаются только вынужденные колебания. Поэтому в установившемся режиме можно не учитывать.
Дата добавления: 2016-01-07; просмотров: 1005;