Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.

Произведем разложение функций A(q) и П(q) в ряды Маклорена вблизи точки q= 0; получим:

(5.2)

Отбрасывая несущественную постоянную в выражении потенциальной энергии, можем положить П(0) = 0; кроме того, как ранее уже было показано, в положении равновесия системы равна нулю первая производная от потенциальной энергии. Вторая производная от потенциальной энергии в положении устойчивого равновесия удовлетворяет условию , где знак равенства относится к тому случаю, когда о наличии минимума потенциальной энергии приходится заключать по старшим производным. Примем

Коэффициент с называют коэффициентом жёсткости или коэффициентом квазиупругости. Правильную, по крайней мере качественно, картину движения при любом t можно получить, сохраняя в разложениях потенциальной и кинетической энергии лишь члены наинизшего порядка относительно q и . Из равенств (3.52) получим: (5.3)

Подставляя в выражение для кинетической энергии (4.35) разложение A(q) согласно (5.2), найдем:

или в принятом приближении:

(5.4)

где по условию положительности кинетической энергии всегда будет: . Коэффициент а носит название коэффициент инерции.

Имея выражения (5.3) и (5.4) для потенциальной и кинетической энергий, составим уравнения движения системы в форме Лагранжа, в нашем случае уравнение движения будет: или , где . Сравнивая его с известным из школьного курса физики уравнением прямолинейных свободных колебаний точки под действием упругой восстанавливающей силы, видим, что коэффициент а при обобщенном ускорении играет ту же роль, что и масса m точки, т. е. характеризует инерционность системы, а коэффициент с аналогичен коэффициенту упругости.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

где амплитуда А и начальная фаза α определяются по начальным условиям. Пусть при и , тогда

и (5.5)

Это - свободные или собственные колебания системы. Частота, или период, свободных колебаний системы не зависит ни от начальных условий движения (изохронизм малых колебаний), ни от природы обобщенной координаты; они представляют основные константы системы, определяемые структурой выражений кинетической и потенциальной энергий, т. е. инерционными свойствами материальной системы и характером консервативного силового поля, в котором происходит колебательное движение системы. Из формул (5.3), (5.4) и (5.5) видно, что амплитуда колебаний А пропорциональна корню квадратному из полной энергии Е=Т+П системы. Движение представляет гармоническое колебание частоты k и периода (в дальнейшем для периода сохраняется общепринятое обозначение Т, хотя этот символ уже использован для обозначения кинетической энергии).

Качественное изучение общей картины движения системы облегчается введением в рассмотрение так называемой фазовой плоскости (q, ), в которой строятся кривые — фазовые траектории, выражающие графически зависимость между обобщенной координатой q и обобщенной скоростью системы для всего многообразия интегральных кривых. Так, в только что рассмотренном случае свободных колебаний системы вокруг положения ее устойчивого равновесия фазовые траектории можно получить путем исключения времени t из уравнений:

q = A sin (kt+ a), = k A cos (kt + a), чтo приведет к семейству кривых

К тому же результату, очевидно, придем, написав уравнение семейства уровней полной механической энергии Е системы

Е = Т+ П = . В рассматриваемом случае консервативной системы фазовые траектории, естественно, совпадают с кривыми уровней энергии. Фазовыми траекториями служат подобные, между собою эллипсы, отличающиеся друг от друга только масштабом, зависящим от начальных условий движений или, точнее, от полной энергии системы (Рис 56). Для всех эллипсов отношение

Рис 56 длин полуосей одно и то же, — оно равно частоте k собственных колебаний системы. Каждому движению системы при заданных начальных условиях соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по фазовой траектории — эллипсу — в указанном на рисунке направлении.

Рассмотрим общий интеграл уравнения при условии с<0, соответствующем неустойчивости равновесия системы в положении q(0)= 0. Вводя в этом случае обозначение получим

Общий интеграл этого уравнения выражается через показательные или гиперболические функции:

Как видно из полученного решения, в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость с ростом времени t могут приобретать сколь угодно большие значения. Найдем

уравнение семейства фазовых траекторий, которое и в этом случае будет совпадать с уравнением семейства уровней полной механической энергии

Полученное уравнение представляет семейство подобных гипербол. Все гиперболы имеют одни и те же асимптоты, уравнения которых (рис 57)

Рис 57

Рассмотрим пример. Однородный стержень ОА массы М и длины l вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси О (Рис 58). К его концу прикреплена нить, переброшенная через идеальный ( без трения) блок В; к другому концу нити привешен груз массы m. Определить закон движения стержня, если в начальный момент угол φ=π/4, а . ОА=ОВ=l, *).

Сосчитаем потенциальную энергию по известной формуле для сил тяжести

Равенство нулю первой производной от потенциальной энергии определит положения равновесия

С учётом условия *) получаем тригонометрическое уравнение

Перепишем полученное уравнение в другом виде

Решениями этого уравнения будут:

1. и ;

2. и , т.е находится в третьей четверти. Устойчивость равновесия для полученных значений φ проверим по знаку второй производной от потенциальной энергии, с учетом формулы *) имеем

Для получаем >0.

Для второго значения угла значение второй производной отрицательно, т.е. второе положение равновесия неустойчиво. Потенциальная энергия вблизи устойчивого положения равновесия будет иметь вид