Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.

Определение понятия устойчивости равновесия связано с рас­смотрением тех движений, которые система станет совершать, бу­дучи выведена из положения равновесия путем сообщения ее точкам весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых начальных скоростей. Если после нарушения равно­весия система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от исследуемого равновесного положения, то такое по­ложение равновесия называется устойчивым. Будем определять положение системы при помощи незави­симых обобщенных координат ….. , число которых равно числу степеней свободы системы. Начальные значения обобщенных координат и скоростей (в момент t = 0) обозначим соответственно через а их те­кущие значения (т. е. значения в любой момент времени) через . Согласно данному выше определению исследуемое равновесное положение устойчиво, если при наперед выбранных положительных, достаточно малых можно указать такие зависящие от , положительные числа , что при и все текущие значения координат и обобщенных скоростей по абсолютному значению останутся при любом t, как бы велико оно ни было, меньшими, чем и т.е. и .

Например, нижнее вертикальное положение маятника устойчиво, наоборот, вертикальное верхнее положение маятника неустойчиво. Лагранж установил следующее достаточное условие устойчивости равновесия голономной системы с идеальными связями в консерва­тивном силовом поле: если в некотором положении системы, подчиненной идеальным, голономным связям и находящейся под действием консерватив­ных сил, потенциальная энергия имеет минимум, то это поло­жение равновесия устойчиво. Точное доказательство этой теоремы дал Лежен-Дирихле.

Потенциальная энергия может быть вблизи положения равновесия системы (пусть ) разложена в степенной ряд, сходимость которого в области достаточно ма­лых обеспечена.

Принимая во внимание, что в точке (0, 0, ..., 0) потен­циальная энергия принята равной нулю и что по условию экстремума равны нулю и все ее первые производные в этой точке, будем иметь следующее разложение потенциальной энергии:

(5.1)

Однородный многочлен второй степени (квадратичная форма) будет знакоопределенным, если он сохраняет постоянный знак при вещественных значениях аргументов, обращаясь в нуль только при обращении в нуль всех аргументов. Если же этот многочлен, сохраняя знак, может обращаться в нуль при значениях аргументов, не равных одновременно нулю, то он назы­вается знакопостоянным.

Так, квадратичная форма является знакоопределенной, тогда как форма будет положительной знакопостоянной, так как она обращается в нуль на прямой , а не только в начале координат.

Известно, что если члены второго порядка, стоящие в разложении (5.1), представляют знакоопределенную положительную квадратичную форму, то функция П при достаточно малых значениях аргументов остается положи­тельной, т. е. имеет в начале координат минимум. Если же эта квадратич­ная форма знакопостоянна и положительна, то суждение о наличии или от­сутствии минимума П не может быть получено из рассмотрения членов вто­рого порядка и требует привлечения членов высших порядков.

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия зада­ваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом поло­жении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев содержится в теоремах Ляпунова. Доказательство теорем Ляпу­нова не может быть здесь дано; удовольствуемся их формулировкой. Приводим формулировку теорем Ляпунова.

Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если от­сутствие минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии без необходимости рассматривать члены высших порядков.

Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено из рассмотрения членов наименее высокого порядка, которые имеются в разложении потенциальной энергии в степенной ряд.

В том случае, когда квадратичная форма в разложении (5.1) может принимать как положительные, так и отрицательные значения (является знакопеременной), функция П не имеет в начале координат ни максимума, ни минимума.