Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.

§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.

Задана невесомая нить длиной ds, (рис.65 ), нагруженная распределённой нагрузкой . Нить абсолютно гибкая и нерастяжимая. В данных предположениях достаточно записать уравнения равновесия в виде , главный вектор всех сил равен нулю.

Раскроем полученное выражение

.

Первые два слагаемых сокращаются, произведением можно пренебречь, как величиной второго порядка, остаются только . Разделив полученную формулу на ds, получаем дифференциальное уравнение равновесия нити

(6.1

Или в проекциях на оси декартовой системы координат, вспоминая, что , имеем

(6.2)

Уравнение (6.1) можно записать и в осях натурального триэдра, при этом

и окончательно получаем

(6.3).

Рассмотрим приложения полученных двух формул: задачу о прогибе нити под действием своего веса и задачу о ленточном тормозе.

1. Равновесие цепи под действием своего веса (рис 66).

Цепь веса Р подвешена в двух точках на одном уровне. Расстояние между точками подвеса l. Считая прогиб цепи небольшим, определить прогиб и натяжение цепи. По определению

Т.к. прогиб цепи небольшой, то можно считать , тогда и уравнения (6.2) запишутся в виде: т.е. , а второе уравнение примет вид (здесь ). Интегрируя полученное выражение, получим уравнение параболы

.

Для определения констант интегрирования зададим два граничных условия . Из первого условия , а из второго . Окончательно получаем

Максимальный прогиб будет при и равен , отсюда можно получить значение натяжения цепи в зависимости от её прогиба, . В случае, если концы цепи находятся на разных уровнях, то в решение дифференциального уравнения надо подставить условия , где и - координаты концов цепи.

2. Задача о ленточном тормозе.

На барабан радиуса R (на рис 67 показана часть барабана) находится нить АВ. К концам которой приложены две силы и , причём пусть . Коэффициент трения скольжения между нитью и барабаном f. Надо определить: при каком соотношении и нить будет находиться в равновесии, т.е. не будет скользить по барабану. В нашем случае , а сила трения, направленная как показано на рис. , равна . Тогда из уравнений (6.3) имеем и (*); это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое ,получим . Если , то в уравнении (*) надо поменять знак на и порядок интегрирования по φ, тогда получим . Окончательно условие равновесия нити можно записать в виде