Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.

Как указывалось в главе 10, формула 3.17, теорема об изменении главного вектора количества движения имела вид

, (6.10)

где - главный вектор внешних сил, действующих на систему. Умножим обе части формулы (6.10) на , тогда- и проинтегрируем обе части, получим

,

здесь -главный импульс внешних сил. Вспоминая также, что , получаем окончательную формулу изменения главного вектора количества движения при ударе

(6.11)

Теорема об изменении главного вектора момента количества движения или кинетического момента имела вид

. (6.12)

Так же как и выше умножим обе части формулы (6.12) на , тогда и проинтегрируем обе части, получим

, (6.13)

где - главный момент импульсов внешних сил.

Запишем уравнения (6.13) в проекциях на оси координат. Для твердого тела в качестве осей координат удобнее выбрать оси, жестко связанные с телом; начало координатной системы следует выбрать либо в неподвижной точке О тела (если такая точка существует) либо в его центре масс С. Следует отметить, что при ударе все точки системы, в частности, твердого тела, не перемещаются. Поэтому можно выбрать любую систему координатных осей, жестко связанных с телом и заменить векторные уравнения (6.13) тремя ска­лярными уравнениями (см. глава 11, §2):

(6.14)

В этих уравнениях и — проекции вектора угловой скорости тела в начале и конце удара, — соответствующие моменты инерции тела, — проекции главного момента импульсов внешних ударных сил. Если за оси координат приняты главные оси инерции тела, то уравнения (6.14) примут такой вид:

.

§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.

На тело, закрепленное в точке В шарнирно (рис. 73) и в точке А при помощи подпятника, действует ударный импульс . Во время удара в точках А и В возникают реакции, имеющие также характер ударных сил. При значительных ударных воздействиях реакции могут достигать значений,

Рис 73 опасных с точки зрения прочности подшипников и оси. Возникает задача определения ударных импульсов реакций при заданных динамических характеристиках тела (масса, моменты инерции) и при известном ударном импульсе, действующем на тело.

Пусть — ударный импульс, действующий в точке М на тело. Совместим плоскость уАz с плоскостью, проходящей через центр масс С тела. Теорема об изменении количества движения при ударе и теорема об изменении момента количеств движения примут для нашего случая следующий вид:

(6.15)

(6.16)

где и — импульсы реакций, а — радиус-вектор точки М. Заметим, что скорость центра масс параллельна оси х

и, следовательно, векторное уравнение (6.15) в проекциях на оси координат приводит к трем скалярным уравнениям:

(6.17)

,

здесь — проекции ударных импульсов на соответствующие оси координат. Теперь перейдем к составлению второй группы уравнений, вытекающей из векторного равенства (6.16). В проекции на оси координат эти уравнения в общем виде совпадают с уравнениями (6.13). Для того чтобы воспользоваться этими урав­нениями, вычислим, прежде всего, момент ударного импульса. Имеем:

Где и — координаты точки М приложения импульса . Уравнения (6.14) принимают следующий вид:

(6.18)

Из последнего уравнения определяется приращение угловой скорости вращения за время удара:

Для определения неизвестных импульсов ударных сил остается подставить в левые части уравнений (6.17) и (6.18) и решить систему пяти уравнений с пятью неизвестными .