Главные оси и главные напряжения

Тензор напряжений – это симметричный тензор второго ранга. Поэтому, как выше показано, он имеет три вещественных главных значения , и . Им соответствуют три главные оси , и . Если в качестве базиса системы координат взять главные оси , то тензор напряжений будет иметь диагональный вид

,

то есть на площадках с нормалями, являющимися базисными векторами этой системы координат, есть только нормальные напряжения.

(по не суммировать!).

Нормальные напряжения ( ) называются главными напряжениями. Вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью можно выразить через главные напряжения

.

Состояние сплошной среды называется одноосным напряженным состоянием, если , (если , то происходит одноосное растяжение, если , то сжатие). Соответственно, двухосное напряженное состояние: , , . Трехосное напряженное состояние: .

Важной характеристикой напряженного состояния среды является первый инвариант

.

Давлением называется величина

.

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров

.

В этой сумме первое слагаемое есть шаровой тензор, второе слагаемое называется девиатором. Такое представление тензора напряжений удобно для изучения свойств сплошной среды.

Отсюда следует выражение для девиатора тензора напряжений

.

Например, для тензора напряжений, приведенного к главным осям, разложение на шаровой тензор и девиатор имеет вид