Закон сохранения момента количества движения

В теоретической механике момент количества движения материальной точки массы относительно точки , начала некоторой инерциальной системы координат, определяется как

,

где

Уравнение момента количества движения материальной точки имеет вид

,

где – момент главного вектора действующих на нее сил относительно точки .

Момент количества движения системы материальных точек относительно точки

,

где

.

Уравнение момента количества движения системы материальных точек имеет вид

,

причем в силу третьего закона Ньютона в сумме учитываются моменты только внешних по отношению к системе сил, то есть производная по времени от момента количества движения системы точек относительно некоторой точки равняется сумме моментов всех внешних действующих на систему сил относительно той же точки .

Получим уравнение моментов количества движения сплошной среды. Рассмотрим произвольный материальный объем с поверхностью . Моментом количества движения объема сплошной среды относительно точки называется вектор

,

где – радиус-вектор материальной точки объема относительно точки , а , – скорость и плотность частицы сплошной среды.

Согласно закону сохранения момента количества движения скорость изменения момента количества движения материального объема равна сумме моментов действующих на этот объем внешних массовых и поверхностных сил

.

Уравнение можно записать и для контрольного объема аналогично тому, как это было сделано в случае закона сохранения количества движения.

Преобразуем уравнение , используя полученные выше формулу дифференцирования интеграла и обобщенную формулу Гаусса-Остроградского

В силу произвольности объема и согласно теореме 1 параграфа 1.7.1 получим дифференциальное уравнение баланса момента количества движения

.

Теорема. Тензор напряжений является симметричным тензором 2-го ранга.

◄ Из уравнения количества движения

,

следует равенство

,

или

.

Вычтем это уравнение из уравнения моментов количества движения, переписанного в виде

.

Получим

.

Так как и , то из последнего равенства следует, что

.

Вычислим частную производную от радиус-вектора

.

Тогда

или

.

Разобьем сумму на два слагаемых:

.

В первом слагаемом сгруппированы все члены с индексами , во втором – . Во втором слагаемом можем обозначить индекс как , а как , так как сумма не зависит от обозначения индекса суммирования

.

Поменяем порядок сомножителей во втором слагаемом

,

и вынесем общий множитель за скобку

, .

Расписав сумму слева почленно для ( ) и вычислив векторные произведения базисных векторов, можно убедиться, что

. ►

Замечание. Тензор напряжений является симметричным для многих сред, такой случай называется классическим. Но для некоторых структурированных сред с внутренними напряжениями он может быть несимметричным из-за наличия внутренних моментов, а также моментов распределенных массовых и поверхностных пар сил.