Уравнение неразрывности при лагранжевом описании

Рис. 1.7.3

Рассмотрим материальную частицу в форме прямоугольного параллелепипеда (Рис. 1.7.3) с ребрами

, .

Объем материальной частицы в момент

.

В момент времени эта частица деформируется и станет косоугольным параллелепипедом с ребрами , его объем будет равен

, .

Так как деформации малы, то отрезок переходит в отрезок, но возможно другой длины, углы между ребрами параллелепипеда изменяются. Но длина ребер параллелепипеда в материальных координатах не изменяется!

Вычислим смешанное произведение векторов

.

Перепишем выражение для объема:

.

Вычислим отношение объемов

.

Масса параллелепипеда не изменилась

.

Отсюда получим

,

, .

Отсюда ясен механический смысл якобиана : якобиан, вычисленный в некоторый момент времени, равен отношению плотности частицы в текущий момент времени к плотности частицы в начальный момент времени.

Уравнение неразрывности при лагранжевом описании в дифференциальной форме следует из и имеет вид

Для одномерного случая

,

,

.

Таким образом, уравнение неразрывности в лагранжевых переменных для одномерного движения имеет вид

.

Данное уравнение можно получить и непосредственно из уравнения неразрывности в эйлеровых переменных

,

которое в одномерном случае выглядит так

.

Заменим на , тогда производная заменится на производную :

.

– это материальная производная, при лагранжевом описании она вычисляется как частная производная. Получим

.