Замечание. Обобщение формулы Гаусса-Остроградского

В математическом анализе формула Гаусса-Остроградского доказана в следующем виде

.

Покажем, что формула будет верна, если скалярные функции , и заменить на векторные , и .

Для доказательства каждую векторную функцию , и надо разложить по базису и применить указанную формулу к каждой компоненте

.

Итак, формула справедлива как для скалярных, так и для векторных функций , и .

.

В дальнейшем нам понадобятся понятия контрольного объема (поверхности), скорости поверхности, переноса параметра сплошной среды через поверхность и правило дифференцирования по времени интеграла по подвижному пространственному объему.

Контрольным объемомназывается выделенный объем пространства , его граница называется контрольной поверхностью.

Для определения скорости поверхности в некоторой точке рассмотрим положения поверхности в два момента времени: и (Рис. 1.7.1). Выберем окрестность точки , площадку и проведем в точке внешнюю нормаль . Отрезок нормали между поверхностями и обозначим . Скоростью перемещения поверхности в точке называется

.

Переносом параметра через площадку с нормалью называют величину, равную

,

где – скорость сплошной среды, – секундный расход среды через . Перенос через поверхность определяется интегралом

.

Теорема 3. (О дифференцировании интеграла по подвижному объему).

Рис. 1.7.1

Рассмотрим пространственный объем , ограниченный поверхностью (Рис.1.7.1). Имеет место формула

где – скорость поверхности , – произвольная функция.

◄ Рассматриваемый объем в момент времени обозначим , а в момент времени – .

Представим объем в виде

.

.

Разобьем объем на цилиндры с основанием и высотой (Рис. 1.7.1). Объем цилиндра с основанием и высотой равен

.

Тогда интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по поверхности :

,

. ►

Следствия.

1. Пусть объем является материальным, , , тогда скорость поверхности равна , где – скорость сплошной среды, и формула дифференцирования принимает вид

.

2. Используя теорему Гаусса-Остроградского, формулу можно переписать иначе:

.

.

3. Если предположить, что в момент времени контрольный объем совпадает с материальным

, ,

то из формул и следует

Замечание. Получим еще одну формулу дифференцирования интеграла по материальному объему, когда подынтегральная функция имеет вид

,

где – скалярная или векторная функция.

.

Обратим внимание, что под интегралом стоит материальная производная, так как при интегрировании параметр вычисляется для фиксированной материальной частицы .

Итак,

.