Замечание. Обобщение формулы Гаусса-Остроградского
В математическом анализе формула Гаусса-Остроградского доказана в следующем виде
.
Покажем, что формула будет верна, если скалярные функции , и заменить на векторные , и .
Для доказательства каждую векторную функцию , и надо разложить по базису и применить указанную формулу к каждой компоненте
.
Итак, формула справедлива как для скалярных, так и для векторных функций , и .
.
В дальнейшем нам понадобятся понятия контрольного объема (поверхности), скорости поверхности, переноса параметра сплошной среды через поверхность и правило дифференцирования по времени интеграла по подвижному пространственному объему.
Контрольным объемомназывается выделенный объем пространства , его граница называется контрольной поверхностью.
Для определения скорости поверхности в некоторой точке рассмотрим положения поверхности в два момента времени: и (Рис. 1.7.1). Выберем окрестность точки , площадку и проведем в точке внешнюю нормаль . Отрезок нормали между поверхностями и обозначим . Скоростью перемещения поверхности в точке называется
.
Переносом параметра через площадку с нормалью называют величину, равную
,
где – скорость сплошной среды, – секундный расход среды через . Перенос через поверхность определяется интегралом
.
Теорема 3. (О дифференцировании интеграла по подвижному объему).
Рис. 1.7.1 | Рассмотрим пространственный объем , ограниченный поверхностью (Рис.1.7.1). Имеет место формула |
где – скорость поверхности , – произвольная функция.
◄ Рассматриваемый объем в момент времени обозначим , а в момент времени – .
Представим объем в виде
.
.
Разобьем объем на цилиндры с основанием и высотой (Рис. 1.7.1). Объем цилиндра с основанием и высотой равен
.
Тогда интеграл по объему можно преобразовать в интеграл по поверхности :
,
. ►
Следствия.
1. Пусть объем является материальным, , , тогда скорость поверхности равна , где – скорость сплошной среды, и формула дифференцирования принимает вид
.
2. Используя теорему Гаусса-Остроградского, формулу можно переписать иначе:
.
.
3. Если предположить, что в момент времени контрольный объем совпадает с материальным
, ,
то из формул и следует
Замечание. Получим еще одну формулу дифференцирования интеграла по материальному объему, когда подынтегральная функция имеет вид
,
где – скалярная или векторная функция.
.
Обратим внимание, что под интегралом стоит материальная производная, так как при интегрировании параметр вычисляется для фиксированной материальной частицы .
Итак,
.
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 1540;