Массовые и поверхностные силы. Вектор напряжений

В механике сплошной среды различают два типа внешних сил, действующих на элемент объема сплошной среды, – массовые и поверхностные силы.

Массовой силой называется сила, действие которой не зависит от присутствия других частей сплошной среды, кроме рассматриваемого элемента, а численное значение пропорционально массе этого элемента.

Примером массовой силы могут служить сила тяжести (гравитационные силы), электромагнитные силы, силы инерции.

Напряженностью или массовой плотностью поля массовой силы называется массовая сила, отнесенная к единице массы сплошной среды.

Например, напряженность силы тяжести равна ускорению свободного падения . Для тела, движущегося в инерциальной системе отсчета с ускорением , напряженность даламберовой силы инерции равна .

Поверхностными силами называются силы, приложенные к элементу сплошной среды со стороны прилегающих к нему частиц остальной части сплошной среды. Эти силы действуют на поверхность рассматриваемого элемента. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади поверхности, на которую она действует, называется напряжением.

Обозначим через главный вектор поверхностных сил, действующих на площадку с нормалью .

Напряжение – это удельная поверхностная сила (Рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1

Вектор напряжений зависит от ориентации площадки . Индекс показывает, что напряжение вычислено на площадке с нормалью (это не проекция на ).

Обратим внимание, что , т.е. – нечетная функция. Размерность : .

Рис. 2.1.2

Вектор напряжений на площадке с нормалью в каждой точке сплошной среды можно разложить на две составляющие – в направлении нормали ( – нормальное напряжение) и касательной ( – касательное или сдвиговое напряжение) к площадке (Рис.2.1.2).

Совокупность всевозможных векторов напряжений в точке определяет напряженное состояние в этой точке. Задача состоит в том, чтобы научиться определять напряжение на площадке с нормалью .

Тензор напряжений

Пусть задана площадка с нормалью . Нужно научиться определять напряжение на этой площадке.

Оказывается, что задать напряженное состояние сплошной среды в точке или, что то же самое, определить правило вычисления вектора напряжений на любой площадке, содержащей эту точку , можно, задавая векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке .

Убедимся в этом. Возьмем точку за начало системы координат и обозначим через – вектор напряжений на площадке с нормалью , лежащей на соответствующей координатной плоскости. Разложим векторы напряжений по базису :

,

,

.

Девять компонент определяют тензор 2-го ранга (докажем это позже), который называется тензор напряжений:

.

Заметим, что -й столбец матрицы тензора напряжений составлен из компонент вектора напряжений . Разложение тензора напряжений по соответствующему базису имеет вид

σ .

Рассмотрим механический смысл компонент тензора напряжений. Поясним его на примере компонент , , .

Рис. 2.2.1

Эти компоненты являются компонентами вектора напряжений на площадке с нормалью (Рис. 2.2.1). Проекция

дает нормальное напряжение на этой площадке, а проекции

и

определяют касательные (сдвиговые) напряжения в направлении и соответственно. Нормальные напряжения связаны с деформаций растяжения, а касательные – с деформацией сдвига. Аналогично можно выяснить механический смысл остальных компонент тензора напряжений.

Таким образом, диагональные компоненты тензора напряжений задают нормальные напряжения на соответствующих координатных площадках, а недиагональные – сдвиговые напряжения в направлении соответствующих осей координат: – нормальное напряжение на -й координатной площадке, – касательное напряжение.

Рис. 2.2.2

Теперь найдем вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью , содержащей точку .

Для этого рассмотрим материальный тетраэдр с вершиной в точке , основанием , перпендикулярным нормали , и боковыми гранями, лежащими на координатных плоскостях (Рис. 2.2.2). Запишем условие равновесия тела – равенство нулю суммы действующих массовых и поверхностных сил

,

где , , – объем, поверхность и плотность тела соответственно. Массовые силы складываются из внешних сил с напряженностью и даламберовых сил инерции с напряженностью . Поверхностные силы задаются вектором напряжений , где – внешняя нормаль к поверхности .

Обозначим площади основания и боковых граней

, ,

причем индексы 1, 2, 3 совпадают с номером координатной оси, перпендикулярной данной грани.

Заметим, что

,

,

,

так как каждая боковая грань является проекцией основания на соответствующую координатную плоскость.

Таким образом, . Объем тетраэдра , где – высота тетраэдра.

Интеграл по поверхности представим как сумму интегралов по граням тетраэдра .

,

где

,

причем

.

Применив теорему о среднем к каждому интегралу, получим

Выразим объем V и площади , и через и учтем нечетность функции . Получим

.

Так как , то поделим на него данное выражение. Устремим к нулю, при этом грань в пределе совпадет с рассматриваемой площадкой, т.е. в пределе будет искомым напряжением. Точки , , и переходят в точку . Получим

или

.

Выражая через компоненты , получим

σ,

σ.

Итак, чтобы вычислить вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью , содержащей точку , нужно найти проекцию тензора напряжений σ, вычисленного в точке , на направление нормали . Тензор напряжений σ в точке определяет напряженное состояние сплошной среды в этой точке.

Докажем, что девять компонент образуют тензор 2-го ранга, т.е.

.

Для этого рассмотрим вектор напряжений на произвольной площадке с нормалью . Вектор является инвариантом, следовательно,

,

,

.

Тогда

,

или

, .

Так как , то

, .

Что и требовалось доказать.