Уравнение теплопроводности для неподвижной среды

Рассмотрим теплообмен за счет теплопроводности в неподвижной среде: , , . В этом случае уравнение внутренней энергии примет вид

.

Из курса термодинамики известны соотношения

, , ,

где – энтальпия (теплосодержание); , – удельная теплоемкость при постоянном давлении и при постоянном объеме

,

.

Поток тепла за счет теплопроводности описывается эмпирическим законом Фурье

,

где – коэффициент теплопроводности.

В неподвижной среде материальная производная совпадает с частной производной по времени. Используя выписанные соотношения и предполагая постоянным, можно переписать уравнение притока тепла в виде

,

где

– коэффициент температуропроводности. Уравнение называется уравнением теплопроводности.

Для стационарного процесса теплопроводности уравнение принимает вид уравнения Лапласа

.

Заметим, что уравнение теплопроводности является уравнением параболического типа, а уравнение Лапласа имеет эллиптический тип.