Линейные уравнения первого порядка

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид:

(1)

где заданные непрерывные функции от или постоянные числа.

Решение линейного уравнения будем искать в виде произведения двух функции от :

(2)

где . Дифференцируя обе части последнего выражения, получим:

(3)

Значения подставим в данное уравнение (1)

или

Выберем функцию такой, чтобы

, (4)

тогда . (5)

Решив сначала уравнение (4) и затем уравнение (5), найдём значения и . Подставив значения и в (2) найдём решение уравнения (1).

Замечание: Уравнение вида , (6)

где и , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим преобразованием: разделим все члены уравнения на

(7)

и произведём замену . (8)

Тогда . (9)

Подставив значения (8) и (9) в (7), получим или

(10)

Решив линейное уравнение (10) и учитывая, что , найдём решение уравнения (6).

Заметим, что уравнение (6) часто можно решить как и линейное уравнение с помощью подстановки