Дифференциальные уравнения первого порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определения

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные и записывается

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например:

1) - обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

2) - уравнение в частных производных 1-го порядка.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид . Если это уравнение можно разрешить относительно , то его можно записать в виде . Для такого уравнения справедлива теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения:

Т е о р е м а. Если в уравнении функция и её частная производная по непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения удовлетворяющее условию: при

Условие, что при , называется начальным условием и записывается или .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция которая зависит от одного произвольного постоянного и удовлетворяет условиям:

- она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного ;

- каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение , что функция удовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения если в последнем произвольному постоянному придать определённое значение .