Интегрирующий множитель

Пусть левая часть уравнения не есть полный дифференциал. Иногда удаётся подобрать такую функцию , после умножения на которую всех членов уравнения левая часть уравнения становится полным дифференциалом.

Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения; функция называется интегрирующим множителем данного уравнения.

Для того чтобы найти умножим обе части уравнении на неизыестный пока интегрирующий множитель :

Для того чтобы последнее уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:

т.е. или . После деления обеих частей последнего уравнения на , получим:

.

Задача нахождения из последнего уравнения ещё труднее, чем первоначальная задача интегрирования данного уравнения. Только в некоторых частных случаях .

удаётся найти функцию

Пусть, например, данное уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только от . Тогда

и для отыскания мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

Откуда

Аналогично, если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он находится по формуле