ВЕЛИЧИНА КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ГРЕНИЯ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

Представим на продольном разрезе потока (рис. 4-5) некоторое живое сечение АВ и соответствующую ему эпюру скоростей ABC. Покажем далее два слоя жидкости (заштрихованы на чертеже), из которых первый слой движется со скоростью u₁ а второй - со скоростью u₂. Поверхность соприкосновения 1 - 1 этих жидких слоев имеет площадь S. По этой поверхности (вдоль нее) в реальной (вязкой) жидкости развиваются парные силы внутреннего трения: T₁, приложенная к первому слою со стороны второго, и Т₂, приложенная ко второму слою со стороны первого. Очевидно,

(4-21)

причем первый слой жидкости, движущийся с большей скоростью, за счет трения по поверхности 1 - 1 способствует ускорению движения второго слоя; второй же слой, наоборот, благодаря трению тормозит первый слой.

Рассматривая реальную жидкость, как сплошную среду (в данном случае движущуюся), имеющую касательные напряжения τ, обусловленные существованием сил T₁ и Т₂ (см. рис. 1-10,а, на котором изображен эллипсоид напряжений, относящийся к общему случаю движения реальной жидкости), мы, естественно, должны иметь ввиду, что силы трения будут возникать не только вдоль поверхности 1 – 1, но и вдоль других направлений, намеченных в точке m (исключение здесь будут составлять только направления главных осей деформаций). В частности, силы трения будут иметь место и в плоскости живого сечения AB.

Мы однако, ограничимся рассмотрением только продольных касательных сил трения, действующих вдоль линий тока, причём будем иметь в виду исключительно прямолинейно параллельноструйный поток жидкости.

Законы продольного внутреннего трения, относящиеся к такому случаю движения, были установлены Ньютоном в 1686 г. Эти законы можно сформулировать так:

Рис. 4-4. К пояснению законов продольного внутреннего трения в жидкости (для прямолинейного движения)

Сила Т продольного внутреннего трения в параллелъноструйном потоке жидкости, т. е. сила трения, возникающая при скольжении отдельных прямолинейных слоев жидкости, друг по другу[2] (рис. 4-5):

1) прямо пропорциональна так называемому градиенту скорости;

2) прямо пропорциональна площади S поверхности соприкасания данных смев жидкости;

3) не зависит от давления;

4)зависит от физических свойств жидкости (от рода жидкости), а следовательно, и от ее температуры.

Положения 1, 2 и 3 отличаются от соответствующих законов, относящихся к твердым телам: в случае твердых тел сила трения, как известно, зависит от нормального давления и практически не зависит от скорости движения тела, а также от площади S.

Законы Ньютона можно представить в аналитической форме:

(4-22)

где η — некоторый коэффициент пропорциональности, называемый, как отмечалось выше, динамическим коэффициентом вязкости или просто коэффициентом вязкости[3]. Величина η зависит от рода жидкости, а также от ее температуры; чтобы подчеркнуть это обстоятельство, иногда η называют коэффициентом молекулярной или физической вязкости. Численные значения η для различных жидкостей находятся опытным путем при помощи особых приборов, называемых вискозиметрами; – градиент скорости, т. е. производная от значения скорости |u| по нормали n, проведенной к поверхности 1 - 1 соприкасания слоев жидкости.

Если толщина выделенных на рис. 4-5 слоев жидкости бесконечно мала, то для отмеченных на чертеже величин du и dn можем написать:

(4-23)

где θ – угол, образованный вертикалью и касательной к кривой ВС эпюры скоростей в точке, лежащей на линии 1 - 1.

Именно соотношением (4-23) и выражается градиент скорости, входящий в формулу (4-22). Величина зависимости от выбранного направления n (см. на рис.4-5 направления n₁ и n₂) может быть как положительной, так и отрицательной. С тем, чтобы в формуле (4-22) величину Т получать всегда положительной, в эту формулу введено абсолютное значение градиента скорости . Впрочем, в дальнейшем для упрощения записей мы будем часто писать в соответствующих случаях просто , понимая, однако, под этой величиной абсолютное ее значение.[4]

Обратим внимание, что при равномерном распределении скоростей поживому сечению, т. е. когда = 0 (что может иметь место в большом удалении от твердой стенки D—D) силы внутреннего трения в реальной (вязкой) жидкости согласно (4-22) должны отсутствовать; при этом вместо эллипсоида напряжений (рис. 1-10, а) мы будем получать для отдельных точек живого сечения шаровые поверхности напряжений (рис. 1-10, б).

Касательные напряжения продольного внутреннего трения для ламинарного режима при прямолинейном движении представятся в соответствии с (4-22) зависимостью:[5]

(4-24)

Рассмотрим теперь поверхность дна D - D потока. У самой стенки русла (непосредственно на стенке), как это считает большинство исследователей, имеет место (как для «смачиваемого» материала стенки, так и для «несмачиваемого») скорость u = 0 (для реальной жидкости).[6]

Градиент скорости у стенки равен:

(4-25)

где угол θ₀ показан на чертеже.

Имея это в виду, силу Т₀ и напряжение τ₀ трения на стенке в случае ламинарного режима можно представить зависимостями:

(4-26)

где S₀ — площадь смоченной поверхности стенки.[7]

Если в предыдущем параграфе была установлена зависимость τ (или τ₀) от величины h_l, то в этом параграфе мы установили для ламинарного режима зависимость τ (или τ₀) от вязкости жидкости и интенсивности изменения скорости u по живому сечению. Как видно, используя две указанные зависимости, можно через величину τ (или τ₀) установить аналитическую связь между потерями напора h_l и физическими свойствами жидкости, а также характером распределения скоростей u по живым сечениям потока.

Величины, с которыми сталкивались выше, имеют следующую размерность:

(A)

(Б)

(В)

где М, L, t — по-прежнему символы массы, длины и времени.

Из (Б) и (В) видно, что ν в отличие от η выражается величинами, не связанными с массой жидкости; в зависимость (В) входят величины, носящие только, так сказать, кинематический характер, в то время как зависимость (Б) носит динамический характер. Именно поэтому η называют динамическим, а
ν - кинематическим коэффициентом вязкости.

В качестве единицы измерения величины η принимают:

где Па – паскаль, П – так называемый «пуаз», г – грамм массы; в качестве же единицы ν принимают:

где Ст – так называемый «стокс», г – грамм массы.

Величины η и ν для данной жидкости существенно зависят от температуры. Численные значения этих коэффициентов, найденные опытным путем (при помощи вискозиметров) для некоторых жидкостей, имеющих различную температуру, приводятся в табл. 4-1. Как видно, из этой таблицы, имеем следующие примерные значения η и ν для воды:

а) при температуре ее равной 20°С η ≈ 0,001 Па∙с = 0,01 П;

ν ≈ 10^-6 м²/с = 10^-2 Ст;

б) при температуре ее равной 10°С η = 0,00131 Па∙с = 0,0131 П;

ν = 1,31∙10^-6 м³/с = 1,31∙10^-2 Ст.

Таблица 4-1

Коэффициенты вязкости η (в пуазах) и ν (в стоксах) для некоторых жидкостей