Анализ напряженного состояния при изгибе

При поперечном изгибе балки в произвольных сечениях действуют изгибающие моменты М_х и поперечные силы Q_y. Изгибающие моменты приводят к действию нормальных напряжений, поперечные силы – касательных напряжений (рис. 8.26).

Рассмотрим бесконечно малый элемент на боковой поверхности балки, находящимся на расстоянии у от нейтральной оси х. Он будет испытывать плоское напряженное состояние. Нормальные напряжения на горизонтальной площадке отсутствуют, так как продольные волокна не давят друг на друга. На вертикальных площадках действуют нормальные напряжения. Для плоского напряженного состояния величина главных напряжений определяется как:

В нашем случае σ_x = σ, σ_y = 0, τ_xy = τ. Следовательно,

Положение главных площадок определяется как:

tg 2α₀ = -

Исследуем напряженное состоянии в трех точках поперечного сечения (рис. 8.23в):

· точка 1 – верхние волокна ,

· точка 2 – нейтральный слой ,

· точка 3 – нижние волокна .

Наибольшие касательные напряжения в каждой рассматриваемой точке можно найти как:

точка 1 -

точка 2 - τ_max

точка 3 - .

Вычислив аналогично главные напряжения для промежуточных точек поперечного сечения, можно построить эпюры главных растягивающих σ₁ и главных сжимающих напряжений, а также эпюру наибольших касательных напряжений (рис.8.26с).

По найденным значениям главных напряжений можно построить траектории главных напряжений. Траекториями главных напряжений при изгибе называются линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением главных напряжений в этой точке.

Трещины в материалах, плохо работающих на растяжение, появляются перпендикулярно траекториям главных растягивающих напряжений σ₁. При проектировании железобетонных балок арматуру целесообразно располагать по направлению траекторий главных растягивающих напряжений σ₁. Траектории главных растягивающих σ₁ и главных сжимающих напряжений σ₂ пересекаются под углом 45⁰.

Траектории главных напряжений зависят от типа нагрузки и вида закреплений балки. На рис. (8.27в) показаны траектории главных напряжений для консольной балки, загруженной сосредоточенной силой Р.