Круг напряжений О. Мора
Соотношения между напряжениями на наклонных и исходных площадках при плоском и объёмном напряженном состояниях можно представить графически с помощью круговой диаграммы. Эта диаграмма была предложена немецким ученым Отто Мором.
В случае плоского напряженного состояния напряжения на наклонных площадках через главные напряжения на основании формул (4.8-4.10) можно представить так (рис.4.12а):
(4.57)
(4.56)
Каждой наклонной площадке соответствует своя изображающая точка М окружности с координатами σz', τy'z'.(рис. 4.12б) При положительном направлении угла α направленном против часовой стрелки ось τ направляется вниз, что согласуется с формулами (4.58): α>0, sin2α>0, τy'z'<0 (рис.4.12 в).
Введем обозначения: , . Тогда формулы (4.56) и (4.57) в осях σ и τ будут представлять собой параметрическое уравнение окружности с центром с и радиусом r:
(4.58)
Эту окружность называют кругом напряжений О. Мора (рис. 4.12)–(4.13).
Каждой наклонной площадке соответствует своя изображающая точка М окружности с координатами σz', τy'z'.(рис. 4.12б) При положительном направлении угла α направленном против часовой стрелки ось τ направляется вниз, что согласуется с формулами (4.58): α>0, sin2α>0, τy'z'<0 (рис.4.12 в).
Таким образом, чтобы построить круг напряжений следует отложить на оси σ значения главных напряжений σ1 и σ2. На отрезке 12, как на диаметре провести окружность. Принимая точку 2 за полюс, провести через нее луч параллельный нормали z', т.е. под углом α к горизонтали с учетом знака, до пересечения с окружностью. Получим изображающую точку М. Координаты этой точки определят в принятой системе осей значения нормальных σz' и касательных τy'z' напряжений на заданной наклонной площадке.
Рассмотрим построение круга напряжений в случае, когда исходные площадки не являются главными (рис. 4.13а). Для определенности будем считать, что нормальные напряжения σz>σy >0, касательное напряжение τyz>0. Построим изображающую точку М (σz, τyz), т.е. по напряжениям, дейстующим на площадке с нормалью z. Теперь через изображающую точку М, проведем луч до пересечения с окружностью, получим полюс А. Через полюс А параллельно нормали к наклонной площадке, т.е. под углом α к горизонтали с учетом знака, проведем луч до пересечения с окружностью в точке В, которая является изображающей точкой заданной наклонной площадки. Координаты точки В будут определять значения нормальных σz' и касательных напряжений τy'z' на этой площадке.
По кругу напряжений можно найти положение главных площадок с напряжениями σ1 и σ2. Для этого из полюса А нужно провести лучи через изображающие точки главных площадок 3 и 4, которые укажут на направление нормалей к главным площадкам углами α1 и α2=90+α1. Значение главных напряжений σ1 и σ2. будет определяться отрезками О3 и О4 соответственно.
По кругу напряжений можно найти положение главных площадок с напряжениями σ1 и σ2. Для этого из полюса А нужно провести лучи через изображающие точки главных площадок 3 и 4, которые укажут на направление нормалей к главным площадкам углами α1 и α2=90+α1. Значение главных напряжений σ1 и σ2 будет определяться отрезками О3 и О4 соответственно.
Из рис (4.13) следует, что
или
Аналогично доказывается положение:
,
что соответсиует исходным формулам, на основании которых строился круг напряжений. Можно получить аналогично и значения главных напряжений:
,
Что совпадает с формулой (4.21).
Таким образом все точки круга О. Мора определяют плоское напряженное состояние в точке твердого деформируемого тела.
Дата добавления: 2015-12-11; просмотров: 1080;