Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого выделенного элемента из твердого деформируемого тела, показанного на рис.4.1. Запишем уравнения равновесия для пространственной системы сил в виде:

ΣМ_z=0: ,

ΣМ_х=0: ,

ΣМ_у=0:

откуда получаем:

(4.2)

Таким образом, касательные напряжения τ на паре взаимно перпендикулярных площадок равны по величине и направлены к общему ребру или от него. В этом состоит суть закона взаимности или парности касательных напряжений, выражающийся формулами (4.2).

4.3. Напряжения на наклонных площадках при объёмном и при плоском напряженных состояниях

l=cos(x,ˆν)= , m=cos(y,ˆν)= , n=cos(z,ˆν)=

Рассмотрим равновесие полученной элементарной пирамиды. Запишем уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на координатные оси. Так Σx=0, Σy=0, Σz=0 дают следующую систему уравнений:

(4.3)

Если наклонная площадка принадлежит поверхности тела, то формулы (4.3) по существу связывают поверхностные нагрузки с компонентами тензора напряжений.

Полное напряжение на наклоной площадке, таким образом, можно определить через его составляющие:

(4.4)

Проектируя составляющие полного напряжения р_ν (4.3) на нормаль ν, получим с учетом значений направляющих косинусов и закона парности касательных напряжений (4.2) формулу для определения нормальных напряжений на произвольной наклонной площадке при объемном напряженном состоянии:

(4.5)

Теперь можно определить и касательные напряжения на наклонной площадке:

Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния, когда , изображенный на рис.4.5. В этом случае формулы (4.3) примут более простой вид:

, (4.6)

Направляющие косинусы:

Нормальные напряжения на наклонной площадке с нормалью ν будут равны:

(*)

C учетом зависимостей (4.6) формулы (*) можно представить в окончательном виде:

(4.7)

(4.8)

На заштрихованной площадке, для которой β=90+α, значения нормальных и касательных напряжений будут определяться по формулам:

σ_y' = σ_zsin²α+σ_ycos²α-τ_zysin2α (4.9)

(4.10)

Cкладывая формулы (4.7) и (4.9) получаем:

(4.11)

Формула (4.11) выражает мысль о том, что сумма нормальных напряжений на паре взаимно перпендикулярных площадок есть величина постоянная, а формулы (4.8) и (4.10) ещё раз подтверждают закон парности касательных напряжений.

4.4. Главные площадки и главные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии

При повороте элементарного объёма относительно точки М компоненты тензора напряжений (4.1), как показывают формулы (4.5 – 4.8) , изменяются, т.е., их значения зависят от ориентации элементарного объёма в пространстве. Можно указать такую его ориентацию, при которой на наклонной площадке с внешней нормалью ν касательные напряжения τ_y'z' окажутся равными нулю.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями.

Пусть на исходных площадках действуют компоненты тензора напряжений (рис. 4.4). Найдем при этом положение главных площадок и значения главных напряжений на них.

Предположим, что наклонная площадка с нормалью ν является главной с одним нормальным напряжением σ_ν=σ_(i), (i=1_,2,3).

Рассматривая в равновесии выделенную пирамиду, т.е., проектируя все силы на оси координат х, у, z получим

-σ_xdF_{x +} σdFl +τ_yxdF_y+ τ_zxdF_Z = 0

-σ_ydF_{y +} σdFm+τ _xydF_x +τ_zydF_z = 0

-σ_zdF_{z +} σdFn+τ_xzdF_x +τ_yzdF_y = 0:

Разделив последние три равенства на площадь наклонной площадки dF, получим три однородных линейных алгебраических уравнения относительно направляющих косинусов l, m, n:

,

, (4.12)

.

Система уравнений не должна иметь нулевое решение в силу того, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, т. е.:

(4.13)

Тогда определитель системы уравнений (4.12)

(4.14)

Раскрывая определитель системы уравнений (4.14), получим кубическое уравнение относительно нормального напряжения на главной площадке:

σ³–J₁(Т_σ)σ² + J₂(Т_σ)σ – J₃(Т_σ) = 0 (4.15)

Коэффициенты при напряжении σ в уравнении (4.15):

J₁(Т_σ)=σ_x +σ_y +σ_z;

J₂(Т_σ)=σ_xσ_y +σ_yσ_z + σ_zσ_x–τ_xy²-τ_yz²-τ_xy² (4.16)

J₃(Т_σ)=σ_xσ_yσ_z +2τ_xyτ_yzτ_zx–σ_xτ_yz²-σ_yτ_zx²- σ_zτ_xy²

называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния, т.е., величинами, не зависящими от преобразования координат относительно вращения элементарного объёма.

Кубическое уравнение (4.15) имеет три действительных корня, значения, которых расположим в такой последовательности: σ₁≥ σ₂ ≥ σ₂. Напряжения σ₁, σ₂ , σ₃ будут главными, значения их не зависят от операции вращения. Поэтому они будут являться инвариантами а, следовательно, формулы (4.16) можно выразить через главные напряжения:

J₁(Т_σ)=σ₁ +σ₂+σ₃

J₂(Т_σ)=σ₁σ₂+σ₂σ₃+σ₃σ₁ (4.17)

J₃(Т_σ)=σ₁σ₂σ₃

Рассмотрим частный случай, когда σ_x=τ_xy=τ_zx=0 (рис. 4.5). В таком случае инварианты тензора напряжений (4.16) будут равны:

(**)

Кубическое уравнение (4.15) с учетом (**) преобразуется в квадратное уравнение:

σ² – J₁(Т_σ)σ + J₂(Т_σ)=0 (4.19)

Найдем корни квадратного уравнения (4.19):

(4.20)

После подстановки значений первого и второго инвариантов (4.18) в формулу (4.20) и выполнения элементарных преобразований получим:

(4.21)

Формула (4.20) применяется при определении главных напряжений при плоском напряженном состоянии. В случае если нормальные напряжения σ_y=0, значения главных напряжений

(4.22)

Теперь определим положение главных площадок.

Рассмотрим равновесие выделенного элемента (рис.4.7), с действующими на него главными напряжениями σ_1,2 и напряжениями на исходных площадках.

Спроектируем все силы на ось у получим:

σ_1,2dFsinα_1,2 +τ_zydF_z–σ_ydF_y=0

Разделив на dFsinα_1,2 последнее равенство, получим:

, (4.23)

или в частности, когда σ_y=0:

(4.24)

Формулы (4.24) и (4.25) используются для определения положения главных площадок при плоском напряженном состоянии.

Положительный угол α_1,2 откладывается от положительного направления оси z против хода часовой стрелки. При этом должно выполняться условие ортогональности главных площадок: сумма модулей углов α₁, α₂ должно равняться 90^об т. е.:

Это указывает на то, что главные площадки, как и исходные площадки взаимно перпендикулярны между собой.

4.5. Экстремальные касательные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии

В качестве исходных площадок примем главные площадки с главными напряжениями σ₁ и σ₂ (рис.4.8).Формулы нормальных и касательных напряжений (4.7) и (4.8) принимают вид:

σ_z'=σ₁cos²α+σ₂sin²α (4.25)

(4.26)

Из формулы (4.26) видно, что при α= ± π/4 касательные напряжения τ_y'z' принимают экстремальное значение:

, (4.27)

или после подстановки главных напряжений (4.21) получим

(4.27)^*

Нормальные напряжения:

σ₄₅ = (σ₁+σ₂)/2 (4.28)

Площадки, где действуют экстремальные касательные напряжения τ_max, называются площадками сдвига. На площадках сдвига касательные напряжения равны полу разности главных напряжений, а нормальные напряжения равны полу сумме главных напряжений.

В частном случае, когда на исходных площадках действуют главные напряжения σ₁=σ, σ₂= -σ экстремальные касательные напряжения:

, (4.29)

а нормальные напряжения σ₄₅ = 0.

Площадки, где действуют только касательные напряжения, назывются площадками чистого сдвига.

, , , (4.30)

а величины нормальных напряжений можно находить так:

σ₁₂ = (σ₁+σ₂)/2;

σ₂₃ = (σ₂+σ₃)/2; (4.31)

σ₃₁ = (σ₃+σ₁)/2.

Таким образом на площадках сдвига действующие касательные напряжения равны полуразности главных напряжений, а нормальные напряжения равны их полусумме.

4.6. Обобщенный закон Гука при объёмном и плоском напряженном состоянии

Из теории простого растяжения известно, что относительная продольная и относительная поперечная деформации для изотропного однородного бруса определяется так:

ε=σ/Е, ε^'=-μσ/Е (4.32)

в случае объёмного напряженного состояния действует не одно, а три главных напряжения.

Для определения относительных деформаций по направлению главных напряжений применим принцип суперпозиции. Пусть сначала действует только главное напряжение σ₁.

Тогда значения деформаций по направлениям главных напряжений:

(4.33)

При действии главных напряжений σ₂ и σ₃ будем иметь аналогичные равенства:

(4.34)

(4.35)

Складывая соответствующие составляющие деформаций (4.33), (4.34) и (4.35) получим:

(4.36)

Формулы (4.36) являются обобщенным законом Р. Гука при объёмном напряженном состоянии.

Для случая плоского напряженного состояния, когда одно из главных напряжений, например σ₃=0, формулы (4.36) принимают вид:

; ; (4.37)

Формулы (4.37) показывают, что при плоском напряженном состоянии деформированное состояние сохраняется объёмным.

4.7. Относительное изменение объёма тела

После деформации тела (рис.4.10б) его размеры будут такими:

dV=dx₁ dx₂ dx₃ (1+ε₁) (1+ε₂) (1+ε₃)

Раскрывая скобки, получим:

dV=(1+ε₁+ε₂+ε₃+ε₁ε₂+ε₂ε₃+ε₃ε₁++ε₁ε₂ε₃)dx₁dx₂ dx₃

Пренебрегая величинами 2-го и 3-го порядка малости, можно записать:

dV≈(1+ε₁+ε₂+ε₃)dx₁ dx₂ dx₃

Относительным изменением объема тела называется отношение разности объёмов после и до деформации к его первоначальному объёму:

И окончательно получаем, что относительное изменение объёма тела будет равно сумме главных относительных деформаций

Θ=ε₁+ε₂+ε₃ (4.38)

Заменяя в формуле (4.38) относительные деформации в соответствии с формулами обобщенного закона Р. Гука, можно получить:

(4.39)

Относительное изменение объёма θ пропорционально первому инварианту тензора напряжений I₁(T_σ), а, следовательно, является также инвариантом относительно преобразования вращения элементарного объёма. Кроме того, из формулы (4.39) следует, что коэффициент Пуассона μ не может быть больше 0,5. Подумайте, почему?

Перепишем формулу (4.39) несколько иначе:

Вводя обозначения

, (4.40)

, (4.41)

запишем

(4.42)

Таким образом, среднее напряжение σ₀ пропорционально относительному изменению объёма.

Коэффициентом пропорциональности здесь является модуль объемной деформации К, которыйпо величине несколько ниже модуля нормальной упругости Е.

Следует обратить внимание на то, что при объёмном напряженном состоянии, как и при простом растяжении, существует аналогичная зависимость в форме закона Гука (4.42).