Функция распределения двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (Х,У) (безразлично, дискретную или непрерывную). Пусть (х, у) – пара действительных чисел.

Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у, обозначим через F(х,у). Если х и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F(х,у), т.е. F(х,у) есть функция от х и у.

Функцией распределения двумерной случайной величины (Х,У) называют функцию F(х,у), определяющую для каждой пары чисел х,у вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом У примет значение, меньшее у:

F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х,у) есть вероятность того, что случайная точка (Х, У) попадёт в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 4.2).

Пример.4.3. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая Х двумерной случайной величины (Х,У) примет значение Х<2 и при этом составляющая У примет значение У<3, если известна функция распределения системы

Решение. По определению функция распределения двумерной случайной величины представляет собой F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Положив х=2, у=3, получим искомую вероятность P(X<2, Y<3)= F(2,3)=