Нормальное распределение вероятности и его свойства

Нормальное распределение – распределение Гаусса - играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения, которому подчиняется, при соблюдении определенных условий, распределение суммы достаточно большого числа случайных величин.

Непрерывная случайная величина называется распределенной нормально, если ее плотность вероятности имеет вид:

(3.7)

Функция распределения такой случайной величины будет иметь вид:

(3.8)

Графики плотности вероятности и функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, приведены на рис. 3.1.

График плотности вероятности симметричен относительно прямой х = а, (математическое ожидание) максимальное значение равно и достигается при х=а. Условие нормировки (2.1) выполняется.

Параметрами, определяющими нормальное распределение вероятности являются а – математическое ожидание и σ – среднеквадратическое отклонение. Поэтому иногда для обозначения нормального распределения употребляется запись N(a,σ).

Анализ дифференциальной функции (3.7) показывает, что:

1. f(x)>0 при любом ; график функции расположен выше оси Ох.

2. ; ось Ох служит асимптотой графика функции f(x).

3. Производная функции f(x) (3.9)

отсюда при х=а, при этом x<a, то , а если x>a, то . Это означает, что функция f(x) имеет один максимум при х =а, равный (3.10)

4. График функции f(x) симметричен относительно прямой х=а, так как аналитическое выражение f(x) содержит разность х-а в квадрате, то есть функция f(x) четная.

5. Можно убедиться, что в точках а- σ и а+ σ вторая производная функции f(x) равна нулю, а при переходе через эти точки она (f′′(x)) меняет знак. А значение функции в обеих этих точках равна . Таким образом, точки графика (а- σ, ) и (а+ σ, ) являются точками перегиба функции f(x).

Очевидно, изменение параметра а приводит к параллельному переносу графика f(x) по оси Ох. Для того, чтобы понять, как влияет параметр σ на это график, заметим, что при уменьшении σ возрастает f_max. Но площадь фигуры, ограниченная графиком плотности вероятностей и осью Ох, равна 1, поэтому при увеличении σ кривая должна быстрее приближаться к оси Ох вдали от х=а и более резко возрастать вблизи этого значения.

На рис. 3.2 изображены нормальные кривые при различных значениях σ и при а=0. график наглядно иллюстрирует, как изменение параметра σ сказывается на форме нормальной кривой.

Нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, рост человека, ошибки стрельбы, величина шума в радиоприемном устройстве, вес клубня картофеля, колебания курса акций и т.д.