Предмет и задачи математической статистики

В основе всех научных знаний лежит наблюдение. Для обнаружения общей закономерности, которой подчиняется явление, необходимо многократно наблюдать его в одинаковых условиях. Например, начальник цеха изучает вопрос о проценте брака для изделий, обработанных на некотором станке. Обследуется 100, 1000 изделий. Сколько должно быть проведено наблюдений? Как обработать результаты наблюдений и сделать обоснованные практические выводы? Или такой пример. Исследователя интересует зависимость урожайности определенной культуры, от количества внесенных удобрений и качества обработки почвы. Для выяснения этой зависимости собраны сведения об урожайности, о количестве внесенных удобрений и качестве обработки по достаточно большому числу одинаковых участков. Как, используя эти сведения, оценить зависимость урожайности от количества удобрений и условий обработки почвы? В обоих приведенных примерах, а также во многих других явлениях, можно отметить, что, несмотря на постоянство условий испытания, результат опыта неоднозначен. Детали обрабатываются вроде бы одинаково, однако одни из них удовлетворяют требованиям приемки, другие – нет. Урожай, выращенный на «одинаковых» участках, - различен и так далее. Предвидеть результат каждого конкретного опыта нельзя. Однако, если систематизировать результаты измерений, то можно увидеть в их изменении некоторую закономерность, которая называется статистической устойчивостью. Изучением закономерностей случайных явлений, а мы привели примеры именно случайных явлений, занимается теория вероятностей. Она строит математические модели случайных явлений, основываясь на формально логических рассуждениях. Например, в результате опыта может произойти одно из n событий, ни одно из которых не имеет перед другими никакого преимущества (бросается монета или игральный кубик). Логически рассуждая, делаем вывод, что их вероятности одинаковы. Построенная теоретическая модель позволяет вычислять вероятности наступления сложных случайных событий, представляющих интерес для практики. Например, какова вероятность, что, играя в монетку, сделав 100 попыток, я не проиграю весь капитал? Если говорить коротко, теория вероятностей позволяет находить вероятности «сложных» событий через построенные теоретически вероятности «простых» событий.

Математическая же статистика оперирует результатами наблюдений над случайными явлениями для того, чтобы оценить вероятности «простых» событий, либо с помощью серии опытов осуществляет проверку предположений относительно этих вероятностей. В самом общем виде то, чем занимается математическая статистика, можно описать так.

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Математическая статистика, опираясь на вероятностные модели, в свою очередь, влияет на развитие теории вероятностей. Математическая статистика и теория вероятностей – две неразрывно связанные науки.

У истоков статистической науки стояли две школы – немецкая описательная и английская школа политических арифметиков. Школа политических арифметиков зародилась в XVII веке. Именно представителями школы политических арифметиков была осознана необходимость учета в статистических исследованиях требований закона больших чисел, поскольку закономерность может проявиться лишь при достаточно большом объеме анализируемой совокупности. В XIX веке бельгийский статистик Кетле положил основание учению о средних величинах. Своим дальнейшим развитием математическая статистика обязана П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, Ф.Гальтону, К.Пирсону и др. Существенный вклад в математическую статистику был сделан в XX веке советскими математиками В.И. Романовским, А.Н. Колмогоровым, Н.В. Смирновым, а также английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.

Выборочный метод

Выборка

Пусть, проводится обследование совокупности объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Эти обследования могут иметь различный характер. Иногда проводят сплошное обследование, то есть обследуют каждый объект совокупности. Метод сплошных обследований – метод статистического обследования, при котором производится изучение всех элементов совокупности.

Но если число объектов очень велико или если их сплошное обследование объектов требует больших затрат, или приводит к их уничтожению(например, чтобы узнать качество консервов, банку надо вскрыть), то проводят не сплошное, а выборочное обследование. Выборочный метод – метод статистического обследования, при котором из совокупности выбирают для изучения ограниченное число объектов.

Примером сплошного наблюдения является изучение успеваемости студентов администрацией ВУЗа, перепись населения, охватывающая все население страны. Выборочными наблюдениями являются, например, социологические исследования, охватывающие часть населения.

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Число объектов N генеральной совокупности и число объектов n выборочной совокупности называют объемом, соответственно, генеральной и выборочной совокупности.

Пример 1.1.Из партии товара, содержащей 10000 деталей, отобрано для обследования 100 деталей. Объем генеральной совокупности N=10000, а объем выборки n=100.

Естественно полагать, что объем генеральной совокупности гораздо больше, чем объем выборки (N>> n).

В математической модели, с которой оперирует математическая статистика, под генеральной совокупностью понимается не только имеющиеся в наличии объекты, но и все гипотетически возможные объекты, которые могли бы функционировать в том же комплексе условий.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, то иногда в целях упрощения вычислений или для облегчения теоретических выводов допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение генеральной совокупности, если ее объем достаточно велик, практически не сказывается на результатах обработки данных выборки. Таким образом, генеральная совокупность может иметь как конечный, так и бесконечный объем. Примером бесконечной совокупности может служить гипотетическая совокупность всех деталей, производимых заводом.