Сходящиеся и ограниченные последовательности.
Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.
- число.
В противном случае последовательность называется расходящейся.
Определение: Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что для всех членов последовательности xn 
M.
Определение: Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для всех членов xn³m.
Определение: Последовательность называется ограниченной, если она ограниченна сверху и снизу, т.е. $ число A>0 такое, что для всех членов последовательности |xn|£A.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Связь между ними.
Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N, зависящий от 
, начиная с которого выполняется неравенство |xn|<e.
.
Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно большой, для любого, сколь угодно большого, положительного числа А, найдется номер последовательности N, начиная с которого выполняется неравенство |xn|>A.
.
Теорема: Бесконечно малые (б/м) и бесконечно большие (б/б) последовательности взаимообратные.
Док-во:
1) б/б есть обратная величина для б/м.
Пусть {xn} – б/м при n®¥. По определению: " 
> $N: "n>N Þ |xn|<e.
Перейдем к обратным величинам: 
. Обозначим 
. Если e – б/м, то А – б/б. Тогда 
, что означает из определения, что 
– б/б.
2) б/м есть обратная величина для б/б.
Пусть {xn} ‒ б/б при n®¥. По определению: "A>0 $N: "n>N Þ |xn| > A.
Перейдем к обратным величинам: 
. Обозначим 
. Если А – б/б, то e – б/м. Тогда , что означает из определения, что ‒ б/м.
Ч.т.д.
Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 1184;