Арифметические операции с пределами.

Теорема 1: Пусть , а , тогда

Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x₀, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x₀.

, как сумма двух б/м.

Ч.т.д.

Теорема 2: Пусть , а , тогда .

Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x₀, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x₀.

f(x)·j (x)= (A±a(x))·(B+b(x))=A·B+A·b(x)+ a(x)·B+ a(x)·b(x)=A·B, так как A·b(x) и a(x)·B и a(x)·b(x) стремятся к нулю при x®x₀ по свойствам б/м. Переходя к пределу при x®x₀ получаем требуемое.

Ч.т.д.

Теорема 3: Пусть , а , тогда , где B¹0.

Доказывается теорема аналогично теоремам 1 и 2.

Следствие: , где C-const.

Неопределенности. Если не применимы основные теоремы о пределах, свойства б/м и б/б, то возникают неопределенности вида: , , (0·¥), (1^¥), (0⁰), (¥⁰), (¥-¥).

Рассмотрим три вида неопределенности: , (¥-¥), .

Пример. Вычислить пределы.

1) = =

2)

3)

от неопределенности избавимся следующим образом: разложим числитель и знаменатель на множители и сократим.

4)

чтобы избавиться от иррациональности, надо умножить и поделить на сопряженное выражение.