Теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции).
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х0 значение функции f(x0) 0. Тогда существует окрестность точки x0, в которой f(x) сохраняет знак.
Теорема 2. (I т. Больцано-Коши).
y |
x |
f(a) |
f(b) |
b |
c |
a |
Замечание 1: Если выполняются условия этой теоремы, то график непрерывной функции обязательно пересечен осью ох.
Замечание 2: Если отказаться от условия непрерывности, то теорема не выполняется.
Теорема 3. (II т. Больцано-Коши о промежуточных значениях).
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b], f(a)=А, f(b)=В. Тогда f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.
Лемма о вложенных отрезках:
Дана последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, т.е.:
[a1;b1] [a2;b2] [a3;b3] … [an;bn] … .
Тогда существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
a1 a2 a3 . . . an… bn . . . b3 b2 b1
Рассмотрим последовательность левых концов:
{an} возрастает и ограничена сверху числом b1.
По теореме о пределе монотонной и ограниченной последовательности существует .
Рассмотрим последовательность правых концов:
{bn} убывает и ограничена снизу числом an
Рассмотрим С1 – С2= - = С1 = С2 Существует единственная точкка, принадлежащая всем отрезкам.
Теорема 4. (I т. Вейерштрасса).
Пусть функция f(x) непрерывна на [а;b]. Тогда f(x) ограничена на [а;b].
Док-во:
Предположим противное: функция f(x) не ограничена на [а;b]. Разделим [а;b] пополам и выберем ту часть, на которой f(x) не ограничена. Разделим эту часть пополам и выберем половину, на которой функция не ограничена и т.д.
Получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.
Тогда по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, такая, что в окрестности точки С функция f(x) не ограничена.
По условию теоремы f(x) непрерывна на [а;b] f(x) непрерывна в точке С.
По первому определению непрерывности .
По определению предела: такое, что из неравенства
Положим =1 .
Выберем М=max( ) f(x) ограничена в окрестности точки С.
Ч.т.д.
Теорема 5. (II т. Вейерштрасса).
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Тогда она принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.
x |
y |
fнаиб |
b |
a |
fнаим |
Дата добавления: 2015-11-06; просмотров: 926;