Доказательство теоремы Маркова.

Теорема (Маркова). Если функция Марковского типа, то её непрерывная дробь сходится к равномерно внутри области .

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций . Они все голоморфные в области D, где - плоскость с разрезом. В частности, в бесконечности функции тоже голоморфны.

Докажем, что внутри область D. равномерно ограниченная последовательность. Зафиксируем компакт Обозначим:

Оценим: если то таким образом, получили равномерную оценку.

Тогда применим теорему Монтеля - предкомпактная. Следовательно она имеет предельные точки. Обозначим: предельные точки . Тогда по некоторой подпоследовательности, голоморфна в области D по 1 теореме Вейеерштрасса. Тогда - Лорановсий коэффициент для функции . для некоторой подпоследовательности . Но, по построению, , значит ряды совпадают: т.е. в окрестности (там, где ряды сходятся). Но всюду в области D, тогда по теореме единственности, мы доказали, что единственная предельная точка последовательности , а тогда (из матана).

функцию обратную к функции Жуковского

, ,

линия уровня этой функции.

Утверждение. оценка скорости сходимости.

Доказательство. Рассмотрим функцию Она голоморфна в области D. Знаменатель в 0 нигде не обращается, кроме . В ней в числителе 0 порядка , в знаменателе – ноль порядка ноль 1ого порядка устранимая особая точка.

эквивалентно:

Применим этот принцип к заштрихованной области (мах модуля достигается на границе).

При доказательстве теоремы Маркова, мы доказали: , но т.к. если Тогда имеет вид: Теперь извлечём из обеих частей неравенства и к . , т.е. как предел от const. Т.к. то .