Задачи. 1) пусть , мы разложили в непрерывную дробь, остаётся вопрос о сходимости, т.е

1) пусть , мы разложили в непрерывную дробь, остаётся вопрос о сходимости, т.е. (сходимость будет следовать из того, что функция Марковского типа). Доказать, что функция Марковского типа.

2) Рассмотрим Разложить функцию в непрерывную дробь и доказать сходимость дроби.

3) -\\- для

4) -\\- для

Решения. 1) Проведём - любую простейшую жорданову спрямляемую кривую, т.ч. лежит вне.

. Теперь стягиваем контур к отрезку: граничное значение функции на верхнем берегу отрезка. Здесь мнимая часть, т.е. вещественной – нет, «-2» сократилась.

2) голоморфна в окрестности точки А теорема Маркова для функции в точке

сделаем замену переменной голоморфна в окрестности точки . Докажем, что функция Марковского типа. Напишем ряд Лорана в окрестности точки . таким образом, коэффициент при , если n – чётное, то , если n – нечётное, то , тогда это и есть мера . Для функции сходимость дроби вне отрезка . А для в единичном круге . , Дроби такого вида называются Р-дробями. Тогда (другая нормировка и замена). Дроби такого вида называются С-дробями. Как посчитать эти коэффициенты?

многочлены Лежандра. Для них справедлива формула Родрига: - стандартная нормировка получим коэффициенты рекуррентных соотношений коэффициенты. Подставляем в интегральную формулу и интегрируем по частям (её легко проверить). Теперь: Посчитаем: старший коэффициент многочлена, и число , в 2n! – уничтожается чётная часть. .

А тогда само рекуррентное соотношение имеет вид: Мы знаем, что , из уравнения старших коэффициентов: см. доказательство этой формулы.

3) сходимость будет в плоскости с вертикальными разрезоми:

(замена переменной).

4) Рассмотрим степенные ряды вида: где - символ Похгоммера, вырожденные параметрические функции, сходится, . Докажем тождество: Проверим его: При - коэффициенты слева и справа: Левая часть: А справа: они равны. Напишем непрерывную дробь: тогда можно применить метод индукции непрерывная дробь, итак, - это непрерывная дробь Ламберта.

Подставим , тогда:

(аналогично), тогда если сделать замену переменной: то получим: , а у обычного «-», т.к. Сходимость следует из теоремы.

Теорема (Эйлера): (начало: 1, 1, 2n ).