Дискретно-аналитический метод решения задачи.

Для решения задачи будем использовать дискретно-аналитический метод, который состоит в следующем: по оси x осуществляется конечно-разностная аппроксимация, а по оси времени t рассматривается непрерывная задача (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Схема дискретизации.

 

Введем обозначения:

; , , (4.55)

где в простейшем случае

. (4.56)

Здесь – количество внутренних узлов конечно-разностной сетки, причем пусть – нечетное число.

Для всех внутренних узлов получим конечно-разностное уравнение – дискретный аналог уравнения колебаний (4.54):

, , (4.57)

где

(4.58)

– вторая конечная разность, приближенно представляющая вторую производную от искомой функции по аргументу .

В соответствии с краевыми условиями из (4.54) для граничных узлов, очевидно, можем записать:

; ; ; . (4.59)

C учетом (4.59) преобразуются уравнения (4.57) Имеем:

; (4.60)

; (4.61)

, ; (4.62)

; (4.63)

. (4.64)

Обоснуем, например, (4.60) и (4.61):

;

Введя обозначение

, (4.65)

можем представить разрешающую систему конечно-разностных уравнений (4.60)-(4.64) в матричном виде

(4.66)

где

. (4.67)

 

Заметим, что матрица положительно определена, т.е. все ее собственные числа положительные (в этом можно убедиться при их непосредственном вычислении).

Общее решение задачи (4.66) имеет вид:

. (4.68)

По условию рассматриваемой задачи

, (4.69)

откуда следует, что

, где . (4.70)

Это значит, что в векторе лишь один «срединный элемент» (с номером ) равен единице, а остальные элементы равны нулю. Ненулевой элемент вектора соответствует узлу конечно-разностной сетки с координатой , в котором в момент времени приложено сосредоточенное ударное воздействие величиной .

Подставив (4.69) в (4.68), получим окончательный вид общего решения:

. (4.71)

 

Варианты задания.

– величина приложенного сосредоточенного ударного воздействия; ; ; – номер группы, – номер студента по журналу.

Принять количество количество внутренних узлов конечно-разностной сетки .

Пример соответствующего M-файла (ниже задано , ):

format bank n=input('введите n='); G=3; S=12; L=300; P=300; h=L/(n+1); alfa=10^8*(100+G+S); x=0:h:L; a0=6*eye(n); a0(1,1)=5; a0(n,n)=5; a1=ones(n-1,1); a2=ones(n-2,1); A=a0-4*(diag(a1,-1)+diag(a1,1))+diag(a2,-2)+diag(a2,2) A=alfa*A/h^4; [T,J]=eig(A) T_INV=inv(T) for i=1:n fJ(i,i)=sqrt(J(i,i)); end sq_A=T*fJ*T'; t0=pi/(4*fJ(n,n)); tmax=125*t0; kmax=7; ic=(n+1)/2; tk=[t0,2*t0,3*t0,tmax/2,tmax-2*t0,tmax-t0,tmax]; res=zeros(kmax,n+2); for k=1:kmax t=tk(k); for i=1:n fJt(i,i)=sin(fJ(i,i)*t); end Y_t=-P*inv(sq_A)*T*fJt*T'; res(k,2:n+1)=Y_t(:,ic)'; end result_y=[tk' res] hold on plot(x,res(1,1:n+2),'r') plot(x,res((kmax+1)/2,1:n+2)) plot(x,res(kmax,1:n+2),'g') grid on

 

Результаты расчета:

 

A =

5.00 -4.00 1.00 0 0 0 0

-4.00 6.00 -4.00 1.00 0 0 0

1.00 -4.00 6.00 -4.00 1.00 0 0

0 1.00 -4.00 6.00 -4.00 1.00 0

0 0 1.00 -4.00 6.00 -4.00 1.00

0 0 0 1.00 -4.00 6.00 -4.00

0 0 0 0 1.00 -4.00 5.00

 

 

T =

0.19 0.35 0.46 0.50 0.46 -0.35 0.19

0.35 0.50 0.35 0.00 -0.35 0.50 -0.35

0.46 0.35 -0.19 -0.50 -0.19 -0.35 0.46

0.50 -0.00 -0.50 -0.00 0.50 0.00 -0.50

0.46 -0.35 -0.19 0.50 -0.19 0.35 0.46

0.35 -0.50 0.35 0.00 -0.35 -0.50 -0.35

0.19 -0.35 0.46 -0.50 0.46 0.35 0.19

J =

187.52 0 0 0 0 0 0

0 776.35 0 0 0 0 0

0 0 12333.06 0 0 0 0

0 0 0 32363.46 0 0 0

0 0 0 0 61872.89 0 0

0 0 0 0 0 94314.02 0

0 0 0 0 0 0 119787.27

 

 

T_INV =

0.19 0.35 0.46 0.50 0.46 0.35 0.19

0.35 0.50 0.35 -0.00 -0.35 -0.50 -0.35

0.46 0.35 -0.19 -0.50 -0.19 0.35 0.46

0.50 0.00 -0.50 -0.00 0.50 0.00 -0.50

0.46 -0.35 -0.19 0.50 -0.19 -0.35 0.46

-0.35 0.50 -0.35 0.00 0.35 -0.50 0.35

0.19 -0.35 0.46 -0.50 0.46 -0.35 0.19

 

 

result_y =

 

0.00 0 0.00 0.00 -0.02 -0.65 -0.02 0.00 0.00 0

0.00 0 0.00 0.03 -0.13 -1.16 -0.13 0.03 0.00 0

0.01 0 0.02 0.07 -0.39 -1.43 -0.39 0.07 0.02 0

0.14 0 -1.87 -3.63 -4.97 -4.68 -4.97 -3.63 -1.87 0

0.28 0 1.04 2.20 3.47 3.47 3.47 2.20 1.04 0

0.28 0 1.05 2.61 3.44 3.46 3.44 2.61 1.05 0

0.28 0 1.14 2.98 3.37 3.50 3.37 2.98 1.14 0

 

Рис. 4.5. Колебания балки при , и .

Здесь, как и в предыдущей лабораторной работе, – порядковый номер точки табуляции решения по времени .

 








Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 926;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.02 сек.