Бесконечно большие и ограниченные величины, их связь с бесконечно малыми

Функция f(х) называется ограниченной на множестве А, если существует число М > 0 такое, что "х Î А (при этом, конечно, считаем, что f(х) определена на множестве, содержащем А).

Пусть теперь w(х) определена в окрестности точки а за исключением, быть может, самой точки а. Функция w(х) называется ограниченной при х ® а, если существует окрестность U точки а и число
М > 0 такие, что "х Î U, х ¹ а, т.е. f ограничена на U\{a}.

Например, функция не определена в точке 0, но ограничена при х ® 0, поскольку при х ¹ 0.

Пусть a(х) – б.м. при х ® а, а w(х) – ограниченная величина при х ® а. Тогда a(х) · w(х) – б.м. при х ® а, т.е.

Пример. есть б.м. при х ® ¥, поскольку – б.м., а sin х – ограниченная (при х ® ¥).

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если при п ® ¥. Например, , , – б.б.

Функция f(х) называется б.б. при х ® а, если "N > 0 $d > 0 такое, что . Это определение дано для конечного а. Дайте соответствующие определения для а = + ¥ , – ¥, ¥.

Если f(х) – б.б. при х ® а, то – б.м. при х ® а, т.е.

Если f(х) – б.м. при х ® а и f(х) ¹ 0 в окрестности точки а при
х ¹ а, то – б.б. при х ® а.

Другими словами,

, (б.м. ¹ 0)

Например, tg х – б.б. при , а ctg х – б.м. при .