Сравнение бесконечно малых

Величина х² стремится к нулю быстрее, чем х (при х ® 0). Этот факт записывают так:

х² = о(х)

(читается: «о малое»).

Пусть a(х) и b(х) – две б.м. при х ® а. Говорят, что b есть величина более высокого порядка малости, и пишут b = о(a), чем a, если

.

Другими словами, есть б.м. при х ® а, и тогда

.

В этой записи особенно хорошо видно, что величина b ® 0 быстрее, чем a, поскольку, по сравнению с a, она содержит б. малый множитель g.

Примеры: х⁷ = о(х⁶), (объясните, почему).

Обозначением «о малое» мы будем часто пользоваться в дальнейшем.

А теперь нас будут интересовать бесконечно малые, которые стремятся к нулю одинаково быстро и в пределе становятся практически не различимы.

Будем говорить, что бесконечно малые a и b эквивалентны, и писать a ~ b, если предел их отношения равен единице:

.

Отметим, что такой предел относится к неопределенностям типа .

Примером эквивалентных б.м. величин является так называемый первый замечательный предел, который мы сейчас и рассмотрим.