Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого справедливо неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат отрезку .
Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что
.
Определение. Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число , что
Пример. – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется неравенство:
Обозначение: . В этом случае говорят, что последовательность сходится к при .
Пример. Доказать, что предел последовательности .
Пусть при верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при последовательность имеет пределом число 2. Имеем ; .Для любого положительного числа существует такое натуральное число , что , т.е. .
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела и , не равные друг другу.
.
Тогда по определению существует такое число , что
и .
Запишем выражение: .
Так как - любоеположительноечисло, то , т.е. . Теорема доказана.
Теорема. Если , то .
Доказательство. Из следует, что . В то же время:
, т.е. , т.е. . Теорема доказана.
Теорема. Если , то последовательность ограничена.
Необходимо отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность не имеет предел. В то же время
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 1002;