Определении
1) Если для всех , то последовательность называется возрастающей.
2) Если для всех , то последовательность называется неубывающей.
3) Если для всех , то последовательность называется убывающей.
4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей.
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. – убывающая и ограниченная; – возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность монотонная и возрастающая.
Найдем -й член последовательности
Найдем знак разности:
, т.к. , то знаменатель положительный при любом .
Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность
.
Найдём . Определим разность , так как , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает.
Заметим, что монотонные последовательности являютс ограниченными по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число. Так как любое ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань, то для любого существует число такое, что , где – точная верхняя грань множества значений последовательности.
Так как - неубывающая последовательность, то при ,
. Отсюда или или , т.е. .
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана.
Число е
Рассмотрим последовательность .Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона:
или
Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением :
Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у последовательности добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, для любого натурального числа , т.е последовательность возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: .
Таким образом, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
.
Число является трпансцендентным числом и приблизительно равно
Число является основанием натурального логарифма.
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 519;