Определении

1) Если для всех , то последовательность называется возрастающей.

2) Если для всех , то последовательность называется неубывающей.

3) Если для всех , то последовательность называется убывающей.

4) Если для всех , то последовательность называется невозрастающей.

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. – убывающая и ограниченная; – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность монотонная и возрастающая.

Найдем -й член последовательности

Найдем знак разности:

, т.к. , то знаменатель положительный при любом .

Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

.

Найдём . Определим разность , так как , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает.

Заметим, что монотонные последовательности являютс ограниченными по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число. Так как любое ограниченное сверху, числовое множество имеет точную верхнюю грань, то для любого существует число такое, что , где – точная верхняя грань множества значений последовательности.

Так как - неубывающая последовательность, то при ,

. Отсюда или или , т.е. .

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично. Теорема доказана.

Число е

 

Рассмотрим последовательность .Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона:

или

Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением :

Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у последовательности добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, для любого натурального числа , т.е последовательность возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: .

Таким образом, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

.

Число является трпансцендентным числом и приблизительно равно

Число является основанием натурального логарифма.

 








Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 531;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.01 сек.