Построение математической модели

В соответствии с размеченным графом состояния и правилом Колмагорова запишем систему обычных дифференционных уравнений для состояния системы.

...................................................

...................................................

Ограничимся исследованием установившегося режима работы системы, если - const, - const

,

и тогда вместо системы обычных дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:

............................................

............................................

Используя полученные алгебраические уравнения, определим выражения для определения вероятности нахождение системы в состоянии .

..............................................

Из этих выражений видно, что при вероятность нахождения в системе требований определяется по следующей формуле:

Для состояния :

;

...................................................

Из полученных выражений видно, что для составления системы, при вероятность нахождения в системе требований определяется по следующей формуле:

имея аналитическое выражение для всех состояний системы, а также используя очевидное равенство:

Определим вероятность простоя канала обслуживания:

Вероятность простоя:

Среднее число требований, которые находятся в очереди, найдем по:

Среднее время ожидания заявок в очереди:

Среднее число занятых каналов :

Задача анализу разомкнутой системы с отказом (потоки требований Пуассоновские)

Постановка задачи:

Пусть исследуется некоторая разомкнутая системы массового обслуживания, интенсивность поступления требований в систему известная и равняется . Интенсивность обслуживания каждого канала известная и равняется . Если требования застали все каналов занятыми, то они получают отказ и оставляют систему. Эта задача впервые рассматривалась Ерлангом. Необходимо определить

1) вероятность того, что все каналы обслуживания свободные;

2) вероятность того, что занят равно каналов обслуживания

3) среднее число занятых каналов обслуживания

Зачеркнем разомкнутый граф состояний многоканальной разомкнутой системы массового обслуживания с отказом:

....... ........

Состояние системы будем связывать с числом занятых каналов обслуживания. Пересчитаем основные возможности состояний системы:

1) все каналы свободные. Ни одна требование не обслуживается

2) один канал занятый. Обслуживается одна заявка

...........................................................

n) - каналов заняты. Обслуживается требований

...........................................................

N) Все каналов заняты, обслуживается требований.

В соответствии с размеченным графом состояний, и используя правило Колмагорова, запишем систему обычных дифференционных уравнений для вероятности состояния системы:

...................................................

....................................................

исследуя стационарный режим работы системы, при , система рекурентных алгебраических уравнений будет иметь вид:

......................................................

......................................................

Из первого уравнения

Аналогично, со второго:

Используя полученные соотношения, возможно определить вероятность того, что все каналы обслуживания свободные.

Вероятность того, что занято ровно каналов обслуживания, будет равняться:

среднее число занятых каналов обслуживания:

Задача анализу замкнутой системы с ожиданием (потоки требований Пуассоновские)

Постановка задачи:

Пусть исследуется некоторая система массового обслуживания, в которой требования, которые обслуживаются, снова возвращаются к системе обслуживания. Интенсивность одной требования - , интенсивность обслуживания каждого канала - , число каналов обслуживания - . Число требований, которые требуют обслуживания - . Будем считать, что .

Необходимо определить:

1) вероятность того, что в системе находятся требований:

2) вероятность простоя каналов обслуживания

3) Среднее число требований, которые ожидают начала обслуживания, или длину очереди

4) Среднее время ожидания требования в очереди

Состояние системы будем связывать с числом требований, которые находятся в системе. При этом возможные 2 случая:

1) Число требований , которые поступили в систему, меньше числа каналов обслуживания, то есть

2) Число требований , которые поступили в систему, большее или равняется числу каналов обслуживания

Из них обслуживается, а требований ожидают в очереди.

Зачертим граф состояний многоканальной замкнутой системы массового обслуживания с ожиданием

:

................

В соответствии с размеченным графом состояний системы, и используя правило Колмагорова, запишем дифференциальные уравнения для вероятности состояний системы:

..................................................

...................................................