Относительная линейная деформация в произвольном направлении

Наметим внутри упругого тела две точки А (х, у, z) и В (х + dx, у + dy, z + dz), находящиеся на расстоянии dr друг от друга (рис. 13). Направляющие косинусы отрезка dr обозначим l, т и п.

Рис. 13

 

При деформации тела под влиянием внешней нагрузки, точка А перейдет в положение А1, точка В в положение В1, а отрезок dr получит приращение . Новая длина отрезка АВ

,

где искомая относительная линейная деформация.

Проекции перемещения АА1 точки А на оси координат обоз­начаем и, v и w. Тогда проекции перемещения ВВ1 точки В на оси координат и + du, v + dv, w + dw.

С одной стороны

.

С другой стороны, квадрат отрезка А1В1 равен сумме квадратов трех его проекций на оси координат:

(А1В1)2 = dx2 + dy2 + dz2 + 2dxdu + 2dydv + 2dzdw.

Тогда получим

.

Подставив выражения для полных дифференциалов переме­щений и, v и w, и заметив, что

учитывая, что l2 + m2 + п2 = 1, сокращая на 2, и используя зависимости (1.15), получаем

. (1.16)

Сравнение выражений (1.16) для линейной деформаций , и (1.6) для нормального напряжения в том же направлении, показы­вает, что они по структуре одинаковы и выражение (1.16) может быть получено из формулы (1.6) путем замены с сохранением знач­ков на и на . Пользуясь такой заменой, можно получить все формулы теории деформации из аналогичных формул теории напряжений. В ча­стности, деформированное состояние в точке упругого тела опре­деляется матрицей компонентов тензора деформаций:

.








Дата добавления: 2015-10-26; просмотров: 945; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2022 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.014 сек.