Относительная линейная деформация в произвольном направлении

Наметим внутри упругого тела две точки А (х, у, z) и В (х + dx, у + dy, z + dz), находящиеся на расстоянии dr друг от друга (рис. 13). Направляющие косинусы отрезка dr обозначим l, т и п.

Рис. 13

При деформации тела под влиянием внешней нагрузки, точка А перейдет в положение А₁, точка В в положение В₁, а отрезок dr получит приращение . Новая длина отрезка АВ

,

где – искомая относительная линейная деформация.

Проекции перемещения АА₁ точки А на оси координат обоз­начаем и, v и w. Тогда проекции перемещения ВВ₁ точки В на оси координат и + du, v + dv, w + dw.

С одной стороны

.

С другой стороны, квадрат отрезка А₁В₁ равен сумме квадратов трех его проекций на оси координат:

(А₁В₁)² = dx² + dy² + dz² + 2dxdu + 2dydv + 2dzdw.

Тогда получим

.

Подставив выражения для полных дифференциалов переме­щений и, v и w, и заметив, что

учитывая, что l² + m² + п² = 1, сокращая на 2, и используя зависимости (1.15), получаем

. (1.16)

Сравнение выражений (1.16) для линейной деформаций , и (1.6) для нормального напряжения в том же направлении, показы­вает, что они по структуре одинаковы и выражение (1.16) может быть получено из формулы (1.6) путем замены с сохранением знач­ков на и на . Пользуясь такой заменой, можно получить все формулы теории деформации из аналогичных формул теории напряжений. В ча­стности, деформированное состояние в точке упругого тела опре­деляется матрицей компонентов тензора деформаций:

.