Случай температурного поля

Если элементарный параллелепипед, предположить подверженным только тепловому воздействию, то его деформация характеризовалась бы следующими ком­понентами:

где а – коэффициент линейного теплового расширения и Т — температура. Будем полагать, что рассматриваемое тем­пературное поле не слишком высокое, чтобы могли изме­ниться упругие характеристики материала (в частности - модуль упругости).

При одновременном наличии компонентов напряжений и теплового эффекта, компоненты деформации, используя (1.20), запишем так:

. (1.45)

Если в первых трех выражениях аТ перевести в левую часть равенств и обозначить

то уравнения (1.45) примут вид, сходный с (1.20) с заменой на , на и на .

В таком случае можно использовать вариант обобщенного закона Гука. Тогда получим:

. (1.46)

где .

Компоненты уравнений теории упругости для решения такой задачи будут складываться из прежних дифференциальных уравнений равновесия (1.2), прежних геометрических уравнений (1.15), прежних условий на границе (1.4) и новых физических уравнений (1.45) или (1.46), составленных для случая теплового эффекта.

Эти уравнения можно переписать в виде:

. (1.47)

Если теперь проделать выкладки, как в разделе 1.13, то взамен (1.42) придем к уравнениям

(1.48)

Сравнивая (1.48) с (1.47), можно заключить, что при вычисле­нии перемещений неравномерность нагрева тела как бы равно­сильна добавлению к реальным объемным силам (X, Y, Z) не­которых фиктивных объемных сил, пропорциональных градиентам температур, т. е. пропорциональных а при вычислении напряжений (1.47) появлению до­полнительных членов, пропорциональных температуре.

Краткие выводы

1. Цель математической теории упругости – определить напряжения и деформации при любых нагрузках на границе и внутри упругого тела любой форы.

В отличие от сопротивления материалов, базирующегося на гипотезе плоских сечений и других упрощенных предполо­жениях, теория упругости ставит целью относительно стро­гое решение задачи при минимальном количестве исходных гипотез.

Задачей точного решения в теории упругости является получение такой системы функций напряжений, смещений и деформаций, чтобы в каждой точке внутри тела были обеспе­чены условия равновесия и условия непрерывности (сплош­ности) тела, а у границы тела внутренние силы находились бы в равновесии с внешними силами, действующими на поверх­ностях (на границе) тела.

2. Для этой цели теория упругости располагает следую­щими группами уравнений:

а) тремя статическими, уравнениями, справедливыми для каждой точки внутри тела, из которых следует, что интен­сивности изменения (градиенты) нормальных и касательных напряжений вдоль координатных осей и сами напряжения между собой не являются независимыми и подчинены опре­деленным дифференциальным соотношениям (1.2).

б) шестью геометрическими уравнениями (1.15), справедливы­ми для каждой точки внутри тела, из которых, с одной стороны, следует, что компоненты деформации (удлинения и сдвиги) связаны дифференциальными соотношениями с функ­циями смещений, а с другой стороны (как следствие), интен­сивности изменения деформаций вдоль координатных осей и сами деформации между собой не являются независимыми и подчинены определенным дифференциальным соотношениям, именуемым уравнениями неразрывности деформации (1.17,а) и (1.17,б).

в) шестью физическими уравнениями (1.24), справедливыми для каждой точки внутри тела и связывающими компоненты напряжений в каждой точке с компонентами деформации для той же точки.

Иначе говоря, в каждом конкретном теле (со своими уп­ругими характеристиками) указанные непрерывные функции для компонентов напряжений, деформаций и смещений оказываются взаимосвязанными, т. е. существует связь не только между функциями, входящими в каждую отдельную группу, но одной группы уравнений с уравнениями другой группы. Эта взаимо­связь предопределяется физической природой исследуемого тела.

3. В указанные три группы уравнений, составляющие в итоге пятнадцать уравнений, входят пятнадцать неизвестных функций. Принципиально может быть найдено бесчисленное множество решений, каждое из которых обратило бы в тождество все перечисленные уравнения, т. е. обеспечило бы равновесие и непрерывность тела в окрестности любой точки внутри тела. Однако каждое из таких решений соответство­вало бы своим особым статическим условиям (внешним нагрузкам) и кинематическим условиям на поверхности тела (наличие или отсутствие тех или иных связей). Поэтому истинным решением задачи будет то, которое увязано с конкретными, заданными граничными условиями и потому конкретное решение должно удовлетворять действительным граничным условиям. Часто эти условия задаются в статическом плане и для каждой точки на грани­це тела представляются тремя граничными условиями (1.4).

Задача №1

На гранях параллелепипеда замерены напряжения (см. таблицу). Аналитически и графически определить главные напряжения и главные площадки, вычислите и главные деформации.

, .

1я цифра шифра				2я цифра шифра
		-10
	-20		-35
		-15	-20
		-25
	-15		-45
	-25
		-45
	-40		-25
		-25
	-35		-25

Задача №2

Полуплоскость загружена силами и . В уровне «h» на отрезке «а» постройте эпюры напряжений и , в точке вычислите горизонтальное нормальное напряжение и исследуйте напряженное состояние.

1я цифра шифра			2я цифра шифра	а	h