Нормальное падение плоской электромагнитной волны на диэлектрическое полупространство

Предположим, что полупространство декартовой системы координат (область 1) представляет собой вакуум: , , , а полупространство (область 2) представляет собой произвольный диэлектрик с параметрами , , (рисунок 62).

Рисунок 62 − Падение плоской волны на диэлектрическое полупространство

Пусть в области 1 по направлению положительной оси распространяется плоская электромагнитная волна, которую будем называть падающей. Для падающей волны заданы векторы и , ориентированные так, как это показано на рисунке. Комплексные амплитуды векторов записываются следующим образом:

,

,

где − постоянная распространения плоских волн в вакууме, − волновое (характеристическое) сопротивление вакуума.

Естественно предположить, что в данной системе помимо падающей существуют еще две волны: отраженная

,

,

где знак вектора магнитного поля обусловлен тем, что вектор Пойнтинга отраженной волны направлен в сторону отрицательной оси .

Вторая волна − прошедшая (преломленная), характеризуемая векторами

,

.

Здесь , − соответственно постоянная распространения и характеристическое сопротивление среды 2.

При записи выражений для прошедшей волны предполагается, что, с одной стороны, область 2 не ограничена по оси , а с другой, что есть хотя бы сколь угодно малое, но конечное затухание электромагнитных волн при распространении в данной среде. Данные предположения обеспечивают отсутствие отраженных волн в области 2, идущих по направлению отрицательной оси .

Необходимо найти соотношения между амплитудами векторов электромагнитного поля падающей, отраженной и прошедшей волн. Для этого следует учесть, что на границе раздела, т.е. в плоскости должны выполняться граничные условия непрерывности тангенциальных составляющих суммарных векторов электрического и магнитного полей:

, , при .

На основании выражений для падающей, отраженной и преломленной волн граничное условие запишется в виде:

,

.

Введем коэффициент отражения по электрическому полю и коэффициент прохождения по электрическому полю согласно соотношениям:

, .

Разделив левые и правые части равенств на амплитуду электрического поля падающей волны , получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно и :

, ,

откуда

, .

Таким образом, коэффициенты отражения и преломления для диэлектрического полупространства полностью определяются характеристическими сопротивлениями граничащих сред. Весьма интересно отметить, что формулы этого же вида встречаются в курсе теории цепей при рассмотрении отражения от стыка двух линий с распределенными постоянными, обладающих волновыми сопротивлениями и .