Волны типа Е в прямоугольном волноводе

Как уже упоминалось, волны Е-типа (или типа ТМ) в линиях передачи характеризуются тем, что в их электромагнитных полях присутствуют продольные составляющие электрического поля, тогда как магнитное поле таких волн поперечно. Другими словами, , .

Этот характер составляющей позволяет однозначно выразить все поперечные составляющие электромагнитного поля любой волны типа Е через частные производные от продольной составляющей по поперечным координатам. Выражение делается на основании формул, полученных в предыдущем разделе, которые связывают продольные компоненты поля с поперечными. Поскольку , то эти формулы перехода принимают простой вид:

.

Таким образом, если удается найти составляющую поля в каждой точке внутренней области волновода, то задача будет решена полностью. Для этого необходимо воспользоваться уравнением Гельмгольца, которому удовлетворяет любая составляющая, в том числе и :

.

Напомним, что здесь − оператор Лапласа. Решение этого уравнения будем искать в виде, характерном для всех волноводных задач, которые будут рассматриваться в дальнейшем:

.

Здесь − подлежащая определению вещественная функция, описывающая распределение поля в поперечной плоскости волновода. Амплитуда поля в этой формуле не зависит от продольной координаты . Это объясняется тем, что, по исходному предположению, источники потерь в исследуемомо волноводе отсутствуют. Изменение фазы вдоль оси распространения описывается экспоненциальным множителем вида . Знак «минус» в показателе экспоненты указывает на то, что решение волнового уравнения соответствует бегущей волне, распространяющейся в положительном направлении оси . Продольное волновое число в отсутсвии потерь является вещественным и должно быть найдено, исходя из геометрических размеров сечения волновода и рабочей длины волны генератора .

Выбранный вид решения позволяет несколько упростить исходное волновое уравнение. Действительно, подставляя в него выбранную форму реешния и воспользовавшись правилом дифференцирования экспоненты, будем иметь следующее уравнение относительно неизвестной амплитуды :

.

Здесь − поперечный оператор Лапласа, действующий на неизвестную функцию лишь по координатам и ; − поперечное волновое число.

Необходимо найти не просто общее решение данного упрощенного волнового уравнения, но найти такое решение, которое бы удовлетворяло в контуре сечения волновода граничным условиям .

В общем случае следует предполагать наличие всех трех составляющих электрического поля. При этом составляющая является тангенциальной ко всем четырем стенкам волновода и должна обратиться на них в нуль:

при , , .

Составляющая должна обратиться в нуль лишь на широких стенках волновода, параллельных оси :

при , .

Наконец, на узких стенках следует требовать обращения в нуль составляющей :

при , .

Однако легко убедиться в том, что перечисленные граничные условия не независимы. Действительно, согласно формулам перехода от поперечных составляющих поля к продольным, в случае волн Е-типа поперечные составляющие электрического поля пропорциональны частным производным по координатам , :

и .

Таким образом, приведенная система граничных условий может быть выражена через и ее производные по поперечным координатам:

Очевидно, что первое условие в этой системе обеспечивает постоянство по контуру сечения волновода, и следовательно, равенство нулю производных от него по координатам, то есть, выполнение оставшихся двух условий.

Таким образом, записывая совместно поперечное волновое уравнение и граничное условие, получим так называемую краевую задачу для волны типа Е в прямоугольном волноводе:

,

.

В математической физике краевая задача, в которой искомая функция должна обратиться в нуль на границе области, носит название однородной краевой задачи Дирихле.

Интересно отметить, что для рассматриваемой электродинамической задачи легко найти механическую аналогию. Оказывается, что краевая задача указанного вида возникает при рассмотрении колебаний однородной жесткой мембраны, прямоугольной формы с размерами сторон и , закрепленной по краям. Роль искомой функции выполняет смещение точки мембраны относительно положения равновесия в направлении, перпендикулярном ее плоскости. нулевой условие на границе эквивалентно жесткому закреплению краев мембраны.

Подытожим основные результаты на данном этапе исследования. Итак, получена строгая математическая формулировка проблемы распространения волн типа Е в прямоугольном волноводе в виде краевой задачи, причем поперечное волновое уравнение принципиально проще исходного уравнения, поскольку описывает лишь колебания поля в поперечной плоскости, а исходное относится к трехмерному волновому процессу.

Решать данную задачу будем с помощью так называемого метода разделения переменных, называемого также методом Фурье (отметим, что этот метод не имеет ничего общего с рядами или интегралом Фурье). Данный метод состоит в том, что решение краевой задачи ищется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит лишь от одной из поперечных координат:

.

Вообще говоря, такой вид решения является весьма частным. Однако в математической физике показывается, что для рассматриваемого класса краевых задач общее решение действительно может быть записано в виде произведения двух независимых функций. Подставляя это решение в поперечное волновое уравнение, будем иметь

.

Здесь двумя штрихами обозначена операция взятия производной. Разделив почленно обе части уравнения на искомое решение, получим

.

В левой части равенства стоят две функции, каждая из которых зависит только от координаты или . Для того, чтобы равенство выполнялось тождественно при любом и , необходимо выполнение равенств

где , − неизвестные числа, удовлетворяюще соотношению

.

Теперь можно понять смысл введения метода разделения переменных. Он заключается в том, что вместо одного уравнения в частных производных получаются два уравнения в обыкновенных производных с постоянными коэффициентами, которые могут быть записаны в более привычном виде:

,

.

Общие решения этих уравнений могут быть представлены в следующей форме:

,

откуда

.

Итак, общее решение уравнения Гельмгольца получено, однако осталось выбрать шесть произвольных величин − , , , и , таким образом, чтобы выполнялись граничные условия на стенках волнвода. Прежде всего, заметим, что при и синусоидальные слагаемые равны нулю. Тогда из условия следует обращение в нуль коэффициентов при косинусоидальных слагаемых, то есть . Далее, поскольку рассматриваемый волновод является линейной системой и совершенно безразлично, при каком уровне распространяющегося сигнала проводить его анализ, произведение двух оставшихся амплитудных коэффициентов можно обозначить через и записать в виде

.

Теперь осталось подобрать величины и . Из граничного условия при следует, что

.

Совершенно аналогично граничное условие при приводит к тождеству

.

Легко показать, что тождественное выполнение этих двух равенств возможно лишь в том случае, если

, ,

где , − любые целые положительные числа. Отметим, что для рассматриваемых волн Е-типа ни одно из этих чисел не может быть равно нулю, в противном случае составляющая поля , а следовательно, и все другие составляющие электромагнитного поля тождественно обратятся в нуль в каждой точке поперечного сечения волновода.

Итак, окончательно

.

Из проведенного анализа можно сделать следующий вывод. Краевая задача имеет отличные от нуля решения не при любых значениях параметра , а только при таких, которые связаны с геометрическими размерами волновода следующим соотношением:

.

Каждой паре чисел , соответствует величина , носящая название собственного значения для данной краевой задачи. Каждому собственному значению соответствует функция , называемая собственной функцией, описывающая распределение составляющей для волны типа в данном волноводе. Числа и называются индексами данного типа колебаний. Физически они означают количество стоячих полуволн, существующих вдоль координатных осей и соответственно. Поскольку индексы могут быть как угодно велики, в прямоугольном волноводе возможно существование сколь угодно большого числа волн типа Е. Однако из сказанного следует, что волн типа и не существует.

Для построения картин поля в волноводе на любом типе волны следует найти все остальные составляющие электромагнитного поля по формулам перехода. Не останавливаясь на деталях построения, приведем картину мгновенного распространения силовых линий векторов и для простейшей волны типа .

Рисунок 17 − Картина мгновенного распределения линий электромагнитного поля волны типа

Данная картина поля, в которой по обеим поперечным осям укладывается по одной стоячей полуволне, позволяет построить картину поля для любого более сложного колебания типа Е. При этом изображенное здесь распределение следует «повторить» такое число раз, котое равно значению индекса требуемого типа волны по той или иной координатной оси. Поскольку зависимости составляющих полей описываются гармоническими функциями координат, направление стрелок на силовых линиях в соседних пучностях стоячих волн должно чередоваться. Пример такого построения для волны типа приведен на рисунке 18.

Рисунок 18 − Картина распределения линий поля волны типа

Следует отметить, что по причинам, которые станут ясными при дальнейшем изложении, волны типа Е в прямоугольном волноводе находят весьма ограниченное практическое применение.