Связь между продольными и поперечными составляющими поля

Результаты, полученные ранее, носят скорее качественно-геометрический характер. В данном разделе будет развит метод анализа направляемых волн, основанный на решении уравнений Максвелла, и пригодный для весьма обширного класса волноводных структур. Основным здесь является то, что анализируемая направляемая волна представляет собой неоднородную плоскую волну, т.е. ее амплитуда вдоль волнового фронта не является постоянной. В случае, если за ось распространения выбрана ось , комплексная амплитуда любой составляющей электромагнитного поля может быть записана в виде

.

Этот, вообще говоря, довольно частный вид зависимости поля от пространственных координат позволяет весьма просто выразить производные от поля по :

, , и т.д.

Пусть электромагнитный процесс в области, свободной от источников, описывается уравнениями Максвелла

, .

В развернутой форме будем иметь

,

Если теперь выразить производные по в соответствии с принятым видом комплексной амплитуды поля , то эти системы упростятся:

,

.

Здесь принципиально важно то, что в соответствии с этими системами поперечные составляющие и , и представлены в виде линейных кобминаций из производных продольных составляющих и по поперечным координатам , . Действительно, рассматривая, например, совместно первое уравнение из первой системы и второе уравнение из второй системы, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно и , причем в правой части этотй системы окажутся производные и . Решая подобные системы уравнений, приходим к следующему результату:

.

Здесь − поперечное волновое число данного процесса, − продольное волновое число, связанные следующим образом:

.

Приведенная система может рассматриваться как формулы перехода между продольными и поперечными составляющими направляемого электромагнитного процесса. Важность их состоит в том, что теперь задача сведена к нахождению лишь двух функций и , остальные составляющие определяются через них путем дифференцирования. Это еще раз подчеркивает принципиальное значение составляющих и , по наличию или отсутствию которых можно условно проводить классификацию направляемых волн. Фактически это решение даже несколько проще, поскольку для волн Е-типа отсутствует продольная составляющая магнитного поля , а для волн Н-типа будем иметь .