Волны типа Н в прямоугольном волноводе

Волны типа Н характепизуются тем, что здесь магнитное поле имеет продольную составляющую , в то время как электрическое поле поперечно, т.е. .

Будем предполагать, что геометрия и физические параметры волновода остаются такими же, как при рассмотрении волн типа Е. Все составляющие электромагнитного поля могут быть выражены через составляющую с помощью формул перехода:

По аналогии с рассмотрением волны типа Е, составляющая должна удовлетворять уравнению Гельмгольца, решение которого должно искаться в виде

.

Здесь амплитудная функция является решением двумерного поперечного уравнения

.

Как и ранее, − поперечное волновое число.

Волновое уравнение должно быть дополнено граничными условиями, обеспечивающими обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического поля на идеально проводящих стенках волновода. Эти условия записываются следующим образом:

Формулы перехода позволяют записать данные условия через искомую функцию :

Таким образом, исследование распространения волн типа Н в прямоугольном металлическом волноводе сводится к решению краевой задачи, описанной предыдущими формулами. Данная краевая задача отличается от задачи, которая описывала распространение волн типа Е, тем, что здесь на границе области, т. е. на контуре сечения волновода, обращается в нуль не сама искомая функция, а ее производная по направлению нормали. В математической физике такие краевые задачи носят название однородных краевых задач Неймана. В частности, задача, полностью подобная рассматриваемой, встречается в механике при рассмотрении колебаний упругой мембраны прямоугольной формы с незакрепленными краями. Равенство нулю нормальной производной ка краях означает отсутсвие в этих точках мембраны внутренних натяжений.

Рассматриваемая краевая задача решается методом разделения переменных. Аналогично рассмотрению волны типа Е, запишем общее решение уравнения Гельмгольца в виде

Граничные условия при , могут быть удовлетворены тогда, когда . Далее, обозначая произведение как , будем иметь

Из граничных условий при , ледует, что

, .

Здесь , − целые положительные числа, не равные нулю одновременно. Как и раньше, поперечное волновое число определяется соотношением

.

Каждой паре индексов , соответствует магнитный тип волны, обозначаемый как . Критическая длина волны для этого типа колебаний находится по общей формуле для критической длины волны:

Аналогично общему рассмотрению критической длины волны, для волн Н-типов справедливы выражения

,

.

Выясним вопрос о том, какой тип волны в прямоугольном волноводе является низшим, т. е. обладает наибольшей критической длиной волны. Из анализа формулы критической длины волны следует, что наибольшей критической длиной волны будет характеризоваться тот тип колебаний, которому соответствуют наименьшие индексы. Поскольку для волн Н-типов

,

в данном случае один из индексов, но не оба вместе, может равняться нулю, так как при и все составляющие напряженностей поля равны нулю. В то же время известно, что для волн Е-типа такая ситуация невозможна. Это значит, что низший тип колебаний в прямоугольном волноводе принадлежит к классу волн Н-типа.

Наименьшими значениями и , при которых напряженность и отличаются от нуля, будут , и , , то есть волны типа и соответственно. Критические длины волн для этих типов волн в соответствии с общим выражением будут:

, .

При обсуждении постановки задачи условились считать, что размер сечения волновода по координате больше, чем по координате , т. е. . Отсюда следует, что , то есть из двух колебаний с наименьшими из возможных индексов, наибольшей критической длиной волны будет обладать тип колебаний .

Волна типа

Рассмотрим этот тип колебаний в прямоугольном волноводе более подробно как из-за большей наглядности, так и из-за широкого практического использования этого типа колебаний.

Начнем с построения качественной картины поля. При этом в качестве исходной можно использовать структуру поля волны в волноводе, образованиом двумя идеально проводящими плоскостями.

Рисунок 20 − Построение картины распределения электромагнитного поля типа

Обращаясь к рисунку 20, заметим, что поскольку силовые линии электрического вектора здесь параллельны поперечной координате , во внутреннем пространстве волновода можно установить две идеально проводяшие перегородки. отстоящие друг от друга на расстояние . В силу перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам граничные условия на последних будут выполняться автоматически. Таким образом, можно рассматривать лишь поля, существующие в замкнутой области с прямоугольной формой сечения, то есть перейти к прямоугольному волноводу.

Чрезвычайно важно отметить, что данная картина поля останется справедливой при любом расстоянии между перегородками или, согласно принятой здесь терминологии, при любом размере узкой стенки волновода. Отсюда следует, что величина не должна входить в выражение, определяющее критическую длину волны для данного типа колебаний. Действительно, при , будем иметь

.

Поскольку волна типа в рассматриваемом волноводе является низшим типом колебаний, можно сформулировать полученный результат следующим образом: по прямоугольному волноводу могут передаваться лишь колебания с длинами волн, меньшими, чем удвоенный размер широкой стенки; более длинноволновые колебания по волноводу принципиально распространяться не могут.

Передачу электромагнитной энергии от генератора к нагрузке по волноводу следует вести на основном типе колебаний , так как анализ показывает, что при этом потери энергии в волноводе минимальны. Для того, чтобы в волноводе имели место только колебания типа , необходимо выбрать рабочую длину волны менее , но более , , и других критических длин волн. Практически необходимо соблюдать условие

Запишем сводку аналитических выражений для составляющих электромагнитного поля волны :

,

где − продольное волновое число, − постоянная распространения (волновое число) в свободном пространстве..

Данные формулы получены с помощью правил перехода от продольных компонет к поперечным. Как видно, в векторах поля волны типа присутствуют всего три составляющие. Рассмотрим их распределение внутри волновода подробнее.

Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, определим мгновенные значения каждой компоненты в зависимости от времени. Для этого нужно будет заменить на и умножить комплексные амплитуды на временной экспоненциальный множитель . Взяв затем от полученных формул действительную часть по формуле Эйлера, получим

.

Остальные компоненты поля равны нулю. Построим теперь точное распределение силовых линий для момента времени . Из выражений следует, что напряженность электрического поля имеет лишь одну составляющую , паралелльную оси . При этом величина составляющей не зависит от координаты . Поэтому электрические силовые линии представляют собой прямые, параллельные узкой стенке волновода (рисунок 21). Напряженность электрического поля в любом поперечном сечении волновода, параллельном плоскости , зависит лишь от координаты и меняется в соответствии с зависимостью . Наибольшее значение напряженность принимает при , т.е. в середине широкой стенки волновода. Следовательно, зависимость напряженности поля от координаты характеризуется полусинусоидой.

Рисунок 21 − Распределение поля в поперечном сечении волновода

В направлении оси величина при фиксированном времени изменяется по закону синуса и при в плоскости напряженность . Поэтому на рисунке 21 построено распределение в плоскости при , когда имеет максимальное значение, направленное сверху вниз. В середине силовые линии располагаются густо, указывая на максимум напряженности поля, и становятся более редкими по направлению к краям. Через половину периода времени направление силовых линий становится обратным.

Величина составляющей напряженности магнитного поля изменяется по координатам, как это следует из выражений для поля, аналогично изменению величины напряженности электрического поля.

Величина же составляющей по координате изменяется по закону косинуса , т.е. имеет максимальные противоположные по знаку значения у вертикальных (узких) стенок волновода , , и нулевое значение на середине поперечного сечения волновода .

В направлении распространения электромагнитных колебаний, т.е., в направлении оси , составляющая определяется также законом косинуса: . Поэтому эта составляющая сдвинута относительно и во времени на четверть периода , а в направлении распСААространения (оси ) −на четверть длины волны , т.е., при и в точке величина максимальна, а в точке она равна нулю.

Напряженность магнитного поля имеет только составляющие и , т.е., силовые линии магнитного поля представляют собой замкнутые линии, параллельные плоскости . На рисунке 22 представлена картина поля волны в волноводе при , . Как и везде на наших рисунках, силовые линии вектора показаны сплошными линиями, а вектора −пунктирными. На рисунке 22, а) − силовые линии в среднем продольном вертикальном сечении волновода, т.е., вид со стороны узкой стенки; на рисунке 22, б) − распределение напряженности электрического поля и составляющей магнитного поля вдоль продольной оси волновода, на рисунке 22, в) − силовые линии магнитного поля в горизонтальном сечении волновода (вид со стороны широкой стенки).

Таким образом, для волны типа значения индексов и показывают, что в направлении оси распределению амплитуд составляющих напряженности поля соответствует одна полуволна, а в направлении оси поле однородно. Вся совокупность силовых линий движется вдоль оси с фазовой скоростью .

а)

б)

в)

Рисунок 22 − Распределение поля вдоль волновода

(в данной лекции присутствовала демонстрация моделирования распространения плоских волн в разных средах и моделирование поля разных типов волн в прямоугольном волноводе)