Законы распределения ДСВ

Рассмотрим некоторые законы распределения дискретной СВ.

1. Биноминальное распределение

Пусть имеется испытаний Бернулли с вероятностью успеха и неуспеха , . Дискретная СВ X – число успехов имеет распределение

Это распределение называется биноминальным с параметрами p и q.

Математическое ожидание и дисперсия СВ X:

, .

1. Геометрическое распределение

Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения (счетное множество значений) с вероятностью

где ,

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число Бернулли до первого успеха.

Математическое ожидание и дисперсия :

.

1. Гипергеометрическое распределение

Дискретная СВ X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения с вероятностями

где ; . Вероятность является вероятностью выбора объектов, обладающих заданным свойством, из множества n объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности объектов, среди которых объектов обладают заданным свойством.

Математическое ожидание и дисперсия СВ, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами , , :

.

1. Закон Пуассона

Говорят, что СВ X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые значения 0, 1, 2, … с вероятностями

где – параметр распределения, , - число появления события в независимых испытаниях.

Математическое ожидание и дисперсия пуассоновской СВ равны параметру распределения:

.

Закону распределения Пуассона обычно подчинена СВ, задающая простейший поток событий (число вызовов скорой помощи, число вызовов на АТС, число заказов на предприятии бытовых услуг, и т.д.) Если интенсивность потока выражает число появлений события за единицу времени, то вероятность наступления событий за время определяется формулой Пуассона .

Пример 6.3. Из 25 подписчиков на газеты 16 человек подписались на местные газеты, остальные – на республиканские. Наудачу выбрали 3 подписчиков. СВ X – количество подписчиков на местные газеты среди выбранных.

Записать закон распределения СВ X. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти .

Решение. 1) Среди трех отобранных подписчиков количество человек, подписавшиеся на местные газеты может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Значит, СВ X имеет значения . Данная СВ X распределена по гипергеометрическому закону. Поэтому вероятности появления каждой СВ X находим по формуле:

.

; ;

; .

Для контроля

+0,46957+0,24348=1.

Записываем закон распределения ДСВ X в виде таблицы:

2) Данные значения СВ X разбивают числовую прямую на пять промежутков.

Если , то ;

Если , то ;

Если , то ;

Если , то

+0,46957=0,75652;

Если , то

+0,25043+0,46957+0,24348=1.

Таким образом, получаем следующую функцию распределения

.

Строим график функции распределения:

3) Находим математическое ожидание СВ X:

.

Найдем дисперсию:

=0,63363≈0,634

Найдем среднее квадратическое отклонение:

.

;

.

,