Теорема сложения вероятностей

Теорема 3.1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

. (3.1)

Доказательство. Введем обозначения:

n – общее число возможных элементарных исходов испытания;

m₁ – число исходов, благоприятствующих событию A;

m₂ – число исходов, благоприятствующих событию B.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события A, либо события B, равно m₁+m₂. Следовательно,

.

Приняв во внимание, что и , окончательно получаем

.

,

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Теорема 3.2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

. (3.2)

Данную теорему примем без доказательства.

Теорема 3.3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

. (3.3.)

Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

,

Пример 3.1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы два учебника окажется в переплете;

Решение. 1) Пусть A – событие, заключающееся в том, что хотя бы два учебника из трех отобранных будет в переплете. Событие A будет состоять из двух несовместных событий: A₁ – событие, состоящее в том, что из трех отобранных учебников два в переплете, а один – нет; A₂ – событие, состоящее в том, что из трех отобранных учебников все три в переплете. Тогда .

Поскольку события A₁ и A₂ несовместны, то по т. 3.1. получаем

.

Вероятности событий A₁ и A₁ находим, используя классическое определение вероятностей.

.

,