Геометрическая вероятность. Классическое определение вероятности нельзя применять к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов

Классическое определение вероятности нельзя применять к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящей в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Определение 2.2 (геометрическое определение вероятности).

Пусть W - ограниченное множество n-мерного евклидова пространства. Элементарные события трактуем как точки , n=1, 2, 3, …, события трактуем как подпространства из . Тогда

, (2.2)

где m означает длину для , площадь для , объем для .

Пример 2.4. (Задача о встрече) Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Решение.Пусть x – момент прихода 1-го студента в течение часа, y – момент прихода 2-го студента в течение часа, где 0£ x £1, 0£ y £1. Тогда время прихода двух студентов можно рассматривать как точки пространства R². Всего исходов испытания – это множество точек расположенных в квадрате OABC. Поэтому m(W)=S_OABC=1.

Поэтому .

,

Из определения вероятности вытекают следующая теорема, которую примем без доказательства.

Теорема 2.1. Вероятность любого события удовлетворяет неравенству

.