Линейные операторы

Линейным оператором (преобразованием, отображением) n-мерного векторного пространства называется правило Y = f(X), по которому каждому вектору Х ставится в соответствие единственный вектор Y, причем сохраняются линейные операции над векторами, т.е. имеют место свойства:

1) f(X + Z) = f(X) + f(Z) - свойство аддитивности оператора;

2) f(lX) = lf(X) - свойство однородности оператора.

Можно доказать, что каждому линейному оператору соответствует квадратная матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Поэтому линейное преобразование можно определить по-другому: линейным оператором n-мерного векторного пространства, заданным квадратной матрицей А, называется преобразование, которое любому вектору X, записанному в виде матрицы-столбца , ставит в соответствие вектор А(Х) = А*Х = .

Матрицу А называют матрицей оператора в данном базисе, а ранг этой матрицы - рангом оператора.

Например, если линейный оператор задан матрицей , то отображение Y вектора X = (4, -3, 1) будет равно

.

Отметим, что единичная матрица задает тождественное преобразование (тождественный оператор), поскольку, умножая ее на вектор, мы получаем тот же самый вектор.

Нулевая матрица определяется, как нулевой оператор, переводящий все векторы пространства в нулевые векторы.

Легко убедиться, что диагональная матрица, на диагонали которой стоит одно и то же число, задает оператор умножения вектора на это число.

Теорема. Матрицы А и А^* одного и того же линейного оператора в базисах e_l, e₂,...e_n и e_l^*, e₂^*,...e_n^* связаны соотношением А^* = С^-1АС, где С - матрица перехода от старого базиса к новому.

Доказательство. Обозначим Y отображение вектора X в базисe
e_l, e₂,...e_n, а те же вектора в базисе e_l^*, e₂^*,...e_n^* обозначим Х^* и Y^*. Так как С - матрица перехода, можно записать:

X = СХ^*

Y = CY^*

Умножим слева обе части первого равенства на матрицу А:

АX = АСХ^*

Так как АX = Y, получим Y = АСХ^*, т.е. CY^* = АСХ^*. Домножив обе части последнего равенства на С^-1, получим:

С^-1CY^* = С^-1АСХ^*

Y^* = С^-1АСХ^*.

Так как Y^* = А^*X^*, А^* = С^-1АС, что и требовалось доказать.

Например, пусть в базисе e_l, e₂ матрица оператора А = . Найти матрицу этого оператора в базисе e_l^* = e_l -2e₂, e₂ = 2e_l + e₂.

Для этого построим матрицу перехода С = и обратную ей матрицу С^-1. |C| = 5, , r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> . Тогда