Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Вектор Х ≠ 0 называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое число l, что АХ = lХ.

При этом число l называют собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - lЕ)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными. Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - lЕ| = = 0

Это уравнение с неизвестным l называют характеристическим уравнением (характеристическим многочленом) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - lЕ| = = (1 - l)² – 36 = 1 – 2l + l² - 36 = l² – 2l - 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения l₁ = (2 - 12)/2 = -5; l₂ = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х₂ = с, х₁ + (2/3)с = 0; х₁ = -(2/3)с, т.е. Х⁽¹⁾ = (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х₂ = с₁, х₁ - (2/3)с₁ = 0; х₁ = (2/3)с₁, т.е. Х⁽²⁾ = ((2/3)с₁; с₁).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с₁; с₁) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где l_i – собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с₁, но такие, чтобы векторы Х⁽¹⁾ и Х⁽²⁾ были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с₁ = 3, тогда Х⁽¹⁾ = (-2; 3), Х⁽²⁾ = (2; 3). Убедимся в линейной независимости этих векторов:

= -12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А^* = .

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А^* = С^-1АС. Вначале найдем С^-1.

С^Т = ;

С^-1 = ;