ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим некоторую криволинейную твердую бесконечно тонкую поверхность 
, находящуюся на некоторой глубине покоящейся жидкости (рис. 2.15). Координатные плоскости расположены, как показано на рисунке. Плоскость хОу лежит и пределах свободной поверхности жидкости. Ось Oz направлена вниз. На поверхности 
действуют две силы R и R', равные между собой и направленные навстречу друг другу.
Рис. 2.15. К определению результирующей силы давления
Любую из этих сил можно разложить на три составляющие. Например, для силы R' это R'x, R'y, R'z (рис. 2.14, а). Тогда искомая сила
(2.15)
Определим сначала силу Rz. Для этого через контур поверхности 
вертикально вверх проведем цилиндрическую поверхность до пересечения со свободной поверхностью жидкости (рис. 2.16).
Рис. 2.16. К определению вертикальной составляющей силы давления
Для того чтобы выделенный жидкий цилиндр находился в равновесии, должны выполняться следующие условия: 
; 
; 
.
Но так как сила 
входит только в третье уравнение, рассмотрим это уравнение: 
.
Из поверхностных сил будем рассматривать силы избыточного давления, т.е. исключим из рассмотрения 
. Получаем
,
где 
- вес жидкости в объеме цилиндра, ограниченного свободной поверхностью жидкости и криволинейной поверхностью 
. Отсюда
,(2.16)
где 
- объем цилиндра.
В результате получим, что вертикальная составляющая давления жидкости на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме вертикального цилиндра, нижним основанием которого является сама криволинейная поверхность, а верхним основанием - свободная поверхность жидкости. Выделенный объем жидкого цилиндра называют телом давления( 
).
Определим горизонтальные составляющие силы 
, т.е. 
и 
. Для определения 
выполним построение горизонтального цилиндра, ограниченного с одной стороны поверхностью 
, и с другой стороны - координатной плоскостью 
(рис. 2.17).
Рис. 2.17. К определению горизонтальной составляющей силы давления
Аналогично предыдущим рассуждениям силы 
, 
в проекции на ось 
обращаются в ноль. В рассмотрении остается уравнение .
,
где 
- сила давления на поверхность, образованную пересечением координатной плоскости 
и цилиндрической поверхности. Обозначим площадь этой плоской поверхности 
и обратим внимание на то, что 
является проекцией криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, параллельную 
.
,
где 
- глубина погружения центра тяжести площади под уровень свободной поверхности жидкости.
В результате получим 
.
. (2.17)
Так как составляющая 
горизонтальна, аналогичные рассуждения приводят к равенству
(2.18)
где 
- площадь проекции криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, параллельную координатной плоскости 
; 
- глубина погружения центра тяжести 
под уровень свободной поверхности жидкости.
Таким образом, три составляющие для определения результирующей силы давления жидкости на криволинейную поверхность будут:
; ; 
.
Сила 
находится по формуле (2.15), а направление силы определяется по углам 
, 
, 
между силой и соответствующей проекцией силы (см. рис. 2.18, а):
. (2.19)
Рассмотрим два примера определения силы давления жидкости на цилиндрические поверхности.
1. Жидкость действует на выпуклую цилиндрическую стенку АВ кругового очертания (рис. 2.18). Эпюра давления, результирующая сила давления 
и ее составляющие 
и 
показаны на рис. 2.18, а. Третья составляющая отсутствует, так как поверхность АВ перпендикулярна координатной плоскости хОу, ее длина в этом направлении равна 
.
Рис. 2.18. Схемы действия результирующей силы и ее проекций на цилиндрическую поверхность
Горизонтальная составляющая силы давления на поверхность АВ определяется как сила давления 
на плоскую проекцию А'В' поверхности АВ на вертикальную плоскость (рис. 2.18, б):
, 
.
Вертикальная составляющая 
равна весу жидкости в объеме тела давления 
и показана на рис. 2.18, в:
где 
В рассматриваемом случае телом давления является жидкое тело, ограниченное вертикальной призмой, восстановленной по контуру цилиндрической поверхности.
Сила 
проходит по линии действия силы тяжести (веса).
Тогда
,(2.20)
а угол наклона силы 
определится из соотношения для угла 
:
2. Жидкость действует на вогнутую цилиндрическую поверхность АВ кругового очертания (рис. 2.19). Результирующая сила давления 
на поверхности АВ и ее составляющие и показаны на рис. 2.19, а. Значение определяется аналогично предыдущему случаю и равно
.
Вертикальная составляющая определяется как вес жидкости в объеме тела давления. Но в данном случае, если восстановить вертикальную призму через контур цилиндрической поверхности до пересечения с продолжением свободной поверхности жидкости (рис. 2.19, б), в теле призмы жидкости нет. Для того чтобы определить , мы как бы (фиктивно) помещаем в тело давления жидкость. Сила будет направлена в сторону, противоположную направлению оси Oz. Такой прием используется каждый раз, когда определяется вертикальная составляющая давления жидкости, находящейся снизу от криволинейной поверхности:
где 
- объем фиктивного тела давления.
Рис. 2.19. Схема действия 
на вогнутую со стороны жидкости цилиндрическую поверхность
Результирующая сила давления R определится по формуле (2.20): .
Дата добавления: 2015-09-29; просмотров: 2277;