Условный экстремум. Рассмотренные выше ситуации поиска локальных и глобальных экстремумов представляли собой задачи нахождения безусловных экстремумов
Рассмотренные выше ситуации поиска локальных и глобальных экстремумов представляли собой задачи нахождения безусловных экстремумов, или задачи безусловной оптимизации. Если на аргументы функции наложены некоторые дополнительные ограничениями в форме равенств, то задача оптимизации превращается в задачу на условный экстремум.
Такую задачу можно записать в общем виде следующим образом:
или ,
где Х=(х1, х2, . . . хn), а выражения gi(X) = bi называют уравнениями связи, m – число таких уравнений (запись означает, что система имеет вид ).
Если есть возможность выразить из ограничений задачи m переменных через (n-m) остальных, то тривиальным подходом к решению является подстановка этих переменных в целевую функцию и далее безусловная оптимизация полученной функции.
Если такой возможности нет, то для нахождения условного экстремума в математическом анализе используют метод множителей Лагранжа. Он состоит в том, что строится функция Лагранжа, имеющая следующий вид:
L(x1, . . ., xn, l1, . . ., lm) = f(x1, . . ., xn) + li (bi - gi(x1, . . ., xn)),
где li, - множители Лагранжа.
Можно доказать, что если задача на условный экстремум имеет решение в некоторой точке, то существуют такие значения множителей Лагранжа, что вместе с координатами этой точки они будут представлять собой точку экстремума функции Лагранжа. Поэтому для решения задачи достаточно провести исследование на экстремум функции Лагранжа.
Дата добавления: 2015-10-06; просмотров: 595;