Экстремумы функции многих переменных

Определим понятие экстремума для функции многих переменных.

Функция многих переменных f(X) имеет в точке Х⁽⁰⁾ максимум (минимум), если найдется такая окрестность этой точки, что для всех точек Х из этой окрестности выполняются неравенства f(X) f(X⁽⁰⁾) ( ).

Если эти неравенства выполняются, как строгие, то экстремум называется сильным, а если нет, то слабым.

Заметим, что определенный таким образом экстремум носит локальный характер, так как эти неравенства выполняются лишь для некоторой окрестности точки экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции z = f(х₁, . . ., х_n) в точке является равенство нулю всех частных производных первого порядка в этой точке: .

Точки, в которых выполняются эти равенства, называются стационарными.

По-другому необходимое условие экстремума можно сформулировать так: в точке экстремума градиент равен нулю. Можно доказать и более общее утверждение - в точке экстремума обращаются в ноль производные функции по всем направлениям.

Стационарные точки должны быть подвергнуты дополнительным исследованиям - выполняются ли достаточные условия существования локального экстремума. Для этого определяют знак дифференциала второго порядка. Если при любых , не равных одновременно нулю, он всегда отрицателен (положителен), то функция имеет максимум (минимум). Если может обращаться в ноль не только при нулевых приращениях, то вопрос об экстремуме остается открытым. Если может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то экстремума в стационарной точке нет.

В общем случае определение знака дифференциала представляет собой достаточно сложную проблему, которую здесь рассматривать не будем. Для функции двух переменных можно доказать, что если в стационарной точке , то экстремум присутствует. При этом знак второго дифференциала совпадает со знаком , т.е. если , то это максимум, а если , то это минимум. Если , то экстремума в этой точке нет, а если , то вопрос об экстремуме остается открытым.

Пример 1. Найти экстремумы функции .

Найдем частные производные методом логарифмического дифференцирования.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x²) – ln (1 + y²)

Аналогично .

Найдем стационарные точки из системы уравнений:

Таким образом, найдены четыре стационарные точки (1; 1), (1; -1),
(-1; 1) и (-1; -1).

Найдем частные производные второго порядка:

ln (z _x `) = ln 2 + ln (1 - x²) -2ln (1 + x²)

Аналогично ; .

Так как , знак выражения зависит только от . Отметим, что в обеих этих производных знаменатель всегда положителен, поэтому можно рассматривать только знак числителя,или даже знак выражений х(х² – 3)и y(y² – 3). Определим его в каждой критической точке и проверим выполнение достаточного условия экстремума.

Для точки (1; 1) получим 1*(1² – 3) = -2 < 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел > 0, а < 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен = 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1²)*(1 +1²)) =
= 8/4 = 2.

Для точки (1; -1) получим 1*(1² – 3) = -2 < 0 и (-1)*((-1)² – 3) = 2 > 0. Т.к. произведение этих чисел < 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Для точки (-1; -1) получим (-1)*((-1)² – 3) = 2 > 0. Т.к. произведение двух положительных чисел > 0, а > 0, в точке (-1; -1) можно найти минимум. Он равен 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1)²)*(1 +(-1)²)) = -8/4 =
= -2.

Найти глобальный максимум или минимум (наибольшее или наименьшее значение функции) несколько сложнее, чем локальный экстремум, так как эти значения могут достигаться не только в стационарных точках, но и на границе области определения. Исследовать поведение функции на границе этой области не всегда легко.