Производная по направлению

Вводя понятие частной производной функции многих переменных, мы давали приращение переменным по отдельности, оставляя все остальные аргументы неизменными. В частности, если рассматривать функцию двух переменных z = f(x,y), то либо переменной x давалось приращение Δx, и тогда в области определения функции происходил переход из точки с координатами (x,y) в точку с координатами (x + Δx; y); либо переменной y давалось приращение Δy, и тогда в области определения функции происходил переход из точки с координатами (x,y) в точку с координатами (x; y + Δy) (см. рисунок 5.6). Таким образом, точка, в которой мы брали частную производную функции, перемещалась в направлениях, параллельных координатным осям на плоскости (либо параллельно оси абсцисс, либо параллельно оси ординат). Рассмотрим теперь случай, когда направление может быть взято произвольно, т.е. приращения даются сразу нескольким переменным. Для случая функции двух переменных мы перейдем в точку (x + Δx; y + Δy), при этом перемещение составит Δl (см. рисунок 5.6).

При перемещении в данном направлении функция z получит приращение Δ_lz = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), называемое приращением функции z в данном направлении l.

Производной z_l` по направлению l функции двух переменных
z = f(x,y) называют предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения Δl при стремлении последней к нулю, т.е. .

Производная z_l`характеризует скорость изменения функции в направлении l.

Понятие производной по направлению может быть обобщено на функции с любым числом переменных.

Рисунок 5.6 – Перемещение точки по направлению l

Можно доказать, что z_l` =z<sub>х</sub>`cos α + z_у`cos β, где α и β – углы, образованные направлением перемещения точки с осями координат (см. рисунок 5.6).

Например, найдем производную функции z = ln (x² + xy) в точке
(3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; -3) (см. рисунок 5.7).

Для этого вначале найдем частные производные этой функции в точке (3; 1): z_x` = (2x + y)/(x<sup>2</sup> + xy) = (2*3 + 1)/(3<sup>2</sup> + 3*1) = 7/12;
z<sub>y</sub>` = x/(x² + xy) = 3/(3² + 3*1) = 3/12 = 1/4.

Отметим, что Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ l)² = 9 + 16 = 25;
|Δ l| = 5. Тогда cos α = 3/5; cos β = -4/5; z_l` =z<sub>х</sub>`cos α + z_у`cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4/5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.

Рисунок 5.7 – Перемещение точки (3; 1) в направлении, идущем
к точке (6; -3)