В выражении производной по направлению

множители можно рассматри

вать как проекции на координатные оси

единичного вектора луча

рассмотрим вектор, проекции которого на

координатные оси равны значениям частных производных

в выбранной точке P(x,y,z). Этот вектор носит особое название – градиент функции . Обозначают его одним из символов: grad uили . Значок называется оператором «Набла », читается «Набла u».Введён английским математиком Гамильтоном.

Определение:Градиентом функции u(x,y,z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой

Функции, т.е. grad u .

Из определения видно, что проекции графика на координатные оси зависят от точки P(x,y,z) и изменяются с изменением её координат. Тем самым каждоё точке из области определения функции u(x,y,z) соответствует определённый вектор – градиент этой функции. Из определения градиента и выражения производной по направлению видно, что grad u , т.е. производная функции по направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор направления. Но grad u

- угол между градиентом и лучом ,

но тогда , т.е. производная функции по направлению равна проекции y градиента функции на направление дифференцирования. Отсюда видно, что наибольшее значение производная достигает, когда ,т.е. . И равно это наибольшее значение grad u .Таким образом, grad u иесть наибольшее возможное значение производной в данной точке P, а направление grad u совпадает с направлением луча из точки P, вдоль которого функция и меняется быстрее всего, т.е. направление градиента есть направление быстрейшего изменения функции u(x,y,z). Между градиентом и поверхностями уровня функции есть определённая связь.

Теорема:Направление градиента функции u(x,y,z) в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня этой функции, проходящей через эту точку.

Доказательство. Возьмём любую точку из области определения функции . Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку будет

Уравнение нормали к этой поверхности в точке будет

т.е. координаты направляющего вектора нормали . Но это и значит, что grad u является таким вектором (у него такие же координаты).

Замечание:в случае плоскости для функции поверхности уровня есть линии уровня и grad u лежит в плоскости XOY. По теореме grad u в каждой точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку. Проводя линии уровня и отмечая в различных точках вектор , мы получим графическое изображение поля, определяемого функцеий . В том направлении, где линии уровня расположены гуще, поля изменяютя быстрее. А grad u показывает величину и точное направление наибыстрейшего изменения.

Основные свойства градиента функции ( - оператора).

1. ;

2. ;

доказательство этих свойств аналогичные. Докажем 3.

или u – градиент сложной функции равен производной функции по промежуточному аргументу, умноженный на его градиент. Действительно Эти свойства показывают, что свойства градиента похожи на свойства производных функций.