Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Производная как функция комплексного переменного определяет отображение некоторой области — области дифференцируемости функции на область . В каждой точке определено комплексное число , следовательно, определены и , если . Геометрически число — длина радиус-вектора точки , a — угол наклона этого радиус-вектора к действительной оси. Возникает вопрос, как характеризуют эти величины само отображение в точке . Как известно, для функции действительной переменной аналогичный вопрос решается просто: производная определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

Рассмотрим геометрические свойства величин и , полагая , а функцию дифференцируемой в окрестности точки . Так как по определению производной предел в точке не зависит от направления и способа стремления к нулю, то можно взять произвольную гладкую кривую , проходящую через точку , и на ней любую точку из окрестности точки .

Образ кривой при отображении обозначим , образы точек и через и соответственно; из непрерывности отображения очевидно, что и . Приращения переменных и геометрически есть векторы (рис. 4.1), их длины — .

Из определения производной и свойства предела имеем , следовательно, или для .Последнее неравенство, согласно определению, означает . Перепишем его следующим образом:

Где и — длины соответствующих дуг кривых и , как известно, эквивалентных стягивающим их хордам, если и . и — элементы длин дуг и в точках и соответственно.

Отношение определяет изменение масштаба (растяжение, сжатие) в точке при отображении . В этом заключается геометрический смысл модуля производной. Величина не зависит от вида кривой , поэтому отмеченное свойство имеет место и для любой другой гладкой кривой, проходящей через точку .

Следовательно, величина модуля производной есть величина постоянная для данной функции и данной точки .

Для аргумента производной имеет место равенство , где и — углы между действительными осями в плоскостях и соответственно и касательными, проведенными к кривым в точке и в точке (рис.4.1).

Если точки и совместить, то — угол поворота кривой в точке при отображении (рис.7.2). В этом заключается геометрический смысл аргумента производной аналитической функции.

Это свойство, очевидно, имеет место и для любой пары гладких кривых и , проходящих через точки и соответственно, . Из равенств и получаем . Это означает, что угол между кривыми и — равен углу между кривым и (рис. 4.3). Следовательно, при отображении сохраняются углы между кривыми.

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.