Локальные экстремумы функции нескольких переменных

Понятие локального экстремума для функции нескольких переменных вводится аналогично тому, как это сделано для функции одной переменной. Например, для функции ситуация ясна из рис. 4.18.1: полное приращение Dz должно быть знакопостоянным в некоторой проколотой окрестности точки При этом

Иногда рассматривают так называемые нестрогие экстремумы:

(рис. 4.18.2). Мы такие точки изучать не будем.

(4.18.1)

Из формулы (4.18.1) сразу следует, что при или величина будет содержать хотя бы одну из разностей или в первой степени. Поскольку при этом то приращение знакопостоянным не будет. Таким образом, имеем необходимые условия экстремума (для дифференцируемой функции):

(4.18.2)

При выполнении условий (4.18.2) касательная плоскость к поверхности будет параллельна плоскости Оху, а соответствующая точка называется стационарной точкой функции .

Пусть выполняются условия (4.18.2), а среди производных второго порядка имеются отличные от нуля в точке .

Тогда согласно (4.18.1)

Выражение в квадратных скобках представляет собой квадратичную форму переменных и с матрицей

(4.18.3)

Для того чтобы в точке функция имела экстремум, достаточным условием является положительная (максимум) или отрицательная (минимум) определенность квадратичной формы, т.е. собственные значения матрицы (4.18.3) должны быть одного знака. Отсюда, обозначив для краткости

получим

т.е. достаточное условие того, чтобы квадратичная форма была положительно или отрицательно определенной:

;

или

Если то и будут иметь различные знаки – это случай минимакса (рис.4.18.3). Квадратичная форма здесь будет знакопеременной, и экстремум отсутствует.

Если то одно из чисел равно нулю, и вопрос об экстремуме остается открытым (необходим анализ дифференциалов более высоких порядков).

Таким образом, если выполняются условия (4.18.2), (4.18.4), то в точке функция имеет экстремум (минимум при и максимум при ).

Если количество переменных больше двух, т.е. рассматривается функция , то вопрос в принципе решается аналогично: при выполнении

условий

квадратичная форма, отвечающая дифференциалу

,

должна быть положительно или отрицательно определенной, т.е. все должны иметь один и тот же знак. Однако при этом столь простого условия, как (4.18.4), не получается.

П р и м е р

Исследовать на локальный экстремум функцию

Решение: 1. Вычислим и найдем стационарные точки функции из системы

2. Вычислим и составим

.

В точке имеем Поэтому не является точкой экстремума. В точке имеем Поэтому является точкой минимума, причём